Sejam X1, X2, ldots, Xn, uma a.a. da distribuição N(0,1). Considere as seguintes vas:
cc barX=1k sumi=1^k Xi & barX=1n-k sumi=1^n-k Xi barX=1n sumi=1^n Xi & S^2=1n-1 sumi=1^n(Xi-barX)^2 Sk^2=1k-1 sumi=1^k(Xi-barXk)^2 & S(n-k)^2=1(n-k-1) sumi=1^n-k(Xi-barX(n-k))^2
Determine as distribuições de:
Sk^2Sn-k^2;

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos Sk^2S(n-k)^2? i.i.d. e define a variância amostral de dois pedaços da amostra: a que tem tamanho (com variância ) e a que tem tamanho (com variância ). A pergunta é: qual a distribuição de
Isso envolve conhecimento de variância amostral, distribuição e distribuição .

Passo 2

Primeiro, lembra que se (k-1),Sk^2 ;=;sumi=1^k (Xi-bar Xk)^2 são (k-1),Sk^2 sim chi^2,k-1 , então
(n-k-1),S(n-k)^2 sim chi^2,n-k-1
segue uma com graus de liberdade. Ou seja,
Do mesmo jeito, como são independentes e também , vale

Passo 3

Outro ponto importante: os pedaços da amostra (os primeiros e os restantes) são independentes. Logo as duas estatísticas e são independentes.

Passo 4

Agora lembra a definição da distribuição U/d1V/d2sim F,d1,d2 : se Sk^2S(n-k)^2 ;=; U/(k-1)V/(n-k-1) ;sim; F,k-1,;n-k-1 e são independentes, então
No nosso caso, com e com . Assim

Resposta

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