[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível
para os valores de
dados:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
A ideia é traçar curvas de nível, ou seja, para cada função z=f(x,y) e cada valor de k dado, a gente desenha no plano (x,y) o conjunto de pontos que satisfazem f(x,y)=k. Essas curvas costumam ser cônicas (hipérboles, elipses, circunferências ou retas), então vamos usar a forma padrão de cada uma para identificar e esboçar cada caso.
Passo 2
Para a parte (a), temos f(x,y)=x²−y². A curva de nível é dada por:
Quando k=0 isso vira x² - y² =0 ⇒ y=±x (duas retas). Para k>0 obtemos hipérboles que se abrem para os lados (eixo x), pois podemos escrever
Assim, para k=1,2,3 são três hipérboles cada vez mais “esticadas” no eixo x.
Passo 3
Na parte (b), f(x,y)=y²−x² e a curva de nível é
Novamente, k=0 dá y=±x. Para k>0 temos hipérboles que se abrem para cima e para baixo (eixo y), pois
e para k<0 seriam hipérboles abrindo para os lados. Como k=0,1,2,3 são todos ≥0, desenhamos três hipérboles verticais e as retas.
Passo 4
Na parte ©, f(x,y)=2−(x²+y²) gera
Isso é uma circunferência de raio
. Para k=0,1,2 temos raios
respectivamente (a k=2 é o ponto (0,0)). Para k=3 o lado direito fica negativo e não há curva real.
Passo 5
Na parte (d), f(x,y)=2x²+4y² resulta em
ou seja
uma família de elipses centradas na origem. Para k=2,3,4,8 as semi-axes valem
no x e
no y, crescendo conforme k aumenta.
Passo 6
Na parte (e), f(x,y)=4−x² dá
independente de y. Isso são duas retas verticais x=±
. Para k=0,1,2 temos x=±2, ±√3 e ±√2 respectivamente.
Resposta
As curvas de nível são:
(a) x²−y²=k: para k=0 as retas y=±x e para k=1,2,3 hipérboles abrindo para os lados.
(b) y²−x²=k: para k=0 as retas y=±x e para k=1,2,3 hipérboles abrindo para cima/baixo.
© x²+y²=2−k: circunferências de raio √(2−k) para k=0 (√2),1 (1),2 (0); vazia para k=3.
(d) 2x²+4y²=k: elipses centradas na origem com semi-eixos √(k/2) em x e √(k/4) em y, para k=2,3,4,8.
(e) x²=4−k: retas verticais x=±√(4−k) para k=0 (±2),1 (±√3),2 (±√2).
(a) x²−y²=k: para k=0 as retas y=±x e para k=1,2,3 hipérboles abrindo para os lados.
(b) y²−x²=k: para k=0 as retas y=±x e para k=1,2,3 hipérboles abrindo para cima/baixo.
© x²+y²=2−k: circunferências de raio √(2−k) para k=0 (√2),1 (1),2 (0); vazia para k=3.
(d) 2x²+4y²=k: elipses centradas na origem com semi-eixos √(k/2) em x e √(k/4) em y, para k=2,3,4,8.
(e) x²=4−k: retas verticais x=±√(4−k) para k=0 (±2),1 (±√3),2 (±√2).