Resolva
3 y^(3)-2 y^prime prime+12 y^prime-8 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0

Passo 1

A equação diferencial é de terceira ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico substituindo cada derivada por uma potência de r:
3r^3 - 2r^2 + 12r - 8 = 0

Passo 3

Fazendo divisão sintética ou fatoração, descobrimos que r = tfrac23 é raiz. Dividindo o polinômio por r - tfrac23 obtemos a fatoração:
3r^3 - 2r^2 + 12r - 8 = (r - tfrac23)(3r^2 + 12) = 0
Logo, as outras raízes vêm de 3r^2 + 12 = 0, ou seja r = pm 2i.

Passo 4

Como as raízes são r1 = tfrac23 e r2,3 = pm 2i, a solução geral é
y(t) = C1 e^tfrac23t + C2 cos(2t) + C3 sin(2t)

Passo 5

Calculamos as derivadas e aplicamos as condições iniciais:
  1. y(0)=1 C1 + C2 = 1
  2. y'(t) = tfrac23C1 e^tfrac23t - 2C2 sin(2t) + 2C3 cos(2t), logo y'(0)=0 tfrac23C1 + 2C3 = 0
  3. y''(t) = tfrac49C1 e^tfrac23t - 4C2 cos(2t) - 4C3 sin(2t), logo y''(0)=0 tfrac49C1 - 4C2 = 0
    Resolvendo esse sistema chegamos a C1 = tfrac910, C2 = tfrac110 e C3 = -tfrac310

Resposta

y(t) = tfrac910e^tfrac23t + tfrac110cos(2t) - tfrac310sin(2t).

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