Resolva
y^prime=1+3 t^23 y^2-6 y, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
y' = 1 + 3 t^23 y^2 - 6 y, y(0) = 1
Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias, mais especificamente uma equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ em lados opostos da equação e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar claramente as partes que dependem de $ y $ e de $ t $:
y
Uma equação é separável quando podemos escrever $ \frac{dy}{dt} = g(t) \cdot h(y) $. No nosso caso:
t

Passo 3

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por $ (3 y^{2} - 6 y) $ e por $ dt $:
(3 y^2 - 6 y)
Agora, temos $ y $ de um lado e $ t $ do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
integral (3 y^2 - 6 y) , dy = integral (1 + 3 t^2) , dt
Vamos calcular as integrais uma por uma.

Passo 5

Começando com o lado esquerdo:
integral (3 y^2 - 6 y) , dy = 3 integral y^2 , dy - 6 integral y , dy = 3 ( y^33 ) - 6 ( y^22 ) = y^3 - 3 y^2
Agora, o lado direito:
integral (1 + 3 t^2) , dt = integral 1 , dt + 3 integral t^2 , dt = t + 3 ( t^33 ) = t + t^3
Então, após integrar, temos:
y^3 - 3 y^2 = t + t^3 + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Substituindo $ t = 0 $ e $ y = 1 $:
y(0) = 1
Então, a equação fica:
C

Passo 7

Para deixar a solução mais clara, vamos arrumar a equação:
y^3 - 3 y^2 - t - t^3 + 2 = 0
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Em alguns casos, pode ser difícil isolar $ y $ explicitamente em função de $ t $, então essa forma implícita é aceitável.

Resposta

A solução da equação diferencial é dada pela equação implícita:
y^3 - 3 y^2 = t + t^3 - 2

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