Resolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias, mais especificamente uma equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ em lados opostos da equação e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar claramente as partes que dependem de $ y $ e de $ t $:
Uma equação é separável quando podemos escrever $ \frac{dy}{dt} = g(t) \cdot h(y) $. No nosso caso:
Passo 3
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por $ (3 y^{2} - 6 y) $ e por $ dt $:
Agora, temos $ y $ de um lado e $ t $ do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
Vamos calcular as integrais uma por uma.
Passo 5
Começando com o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Então, após integrar, temos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Substituindo $ t = 0 $ e $ y = 1 $:
Então, a equação fica:
Passo 7
Para deixar a solução mais clara, vamos arrumar a equação:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Em alguns casos, pode ser difícil isolar $ y $ explicitamente em função de $ t $, então essa forma implícita é aceitável.
Resposta
A solução da equação diferencial é dada pela equação implícita: