Resolva
x y^prime=-2 y+x^2-x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver: $ x y’ = -2 y + x^2 - x + 1 $. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e pra resolver isso, a gente vai precisar entender sobre equações lineares e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar essa equação pra deixar no formato padrão de uma equação diferencial linear. Isso ajuda a gente a identificar as partes que precisamos trabalhar. A equação original é:
x y' = -2 y + x^2 - x + 1
Vamos dividir ambos os lados por $ x $ para isolar $ y’ $:
x
Agora, ela está no formato:
y'
onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x - 1 + \frac{1}{x} $.

Passo 3

Para resolver essa equação linear, a gente vai usar o método do fator integrante. O primeiro passo desse método é calcular o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
mu(x)
Vamos substituir $ P(x) = \frac{2}{x} $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Então, o fator integrante é $ \mu(x) = x^2 $.

Passo 4

Agora que temos o fator integrante, multiplicamos toda a equação original por $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando:
x^2 y' + x^2 cdot 2x y = x^2 ( x - 1 + 1x )
A parte da esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $, ou seja:
x^2 y' + 2x y = x^3 - x^2 + x

Passo 5

Agora, integremos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
O lado esquerdo simplifica para $ x^2 y $:
integral ddx (x^2 y) dx = integral (x^3 - x^2 + x) dx
Calculando as integrais:
x^2 y
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos resolver para $ y $ dividindo tudo por $ x^2 $:
y
Simplificando cada termo:
x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 14x^2 - 13x + 12 + Cx^2
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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