Resolva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver: $ x y’ = -2 y + x^2 - x + 1 $. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e pra resolver isso, a gente vai precisar entender sobre equações lineares e o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar essa equação pra deixar no formato padrão de uma equação diferencial linear. Isso ajuda a gente a identificar as partes que precisamos trabalhar. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por $ x $ para isolar $ y’ $:
Agora, ela está no formato:
onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x - 1 + \frac{1}{x} $.
Passo 3
Para resolver essa equação linear, a gente vai usar o método do fator integrante. O primeiro passo desse método é calcular o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
Vamos substituir $ P(x) = \frac{2}{x} $:
Então, o fator integrante é $ \mu(x) = x^2 $.
Passo 4
Agora que temos o fator integrante, multiplicamos toda a equação original por $ \mu(x) $:
Simplificando:
A parte da esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $, ou seja:
Passo 5
Agora, integremos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
O lado esquerdo simplifica para $ x^2 y $:
Calculando as integrais:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, vamos resolver para $ y $ dividindo tudo por $ x^2 $:
Simplificando cada termo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.