[3] [2.5 pontos] Considere o subconjunto W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4}: 2 x+y-t=0\right. e \left.z=0\right\}.
(a) Verifique se W é um subespaço de \mathbb{R}^{4}. Obtenha uma base e a dimensão de W.
(b) Se U=\{(x, y, z, t): x+y=0 e z-t=0\} é um subespaço de \mathbb{R}^{4}, encontre uma base e uma dimensão de W \cap U.

Passo 1

O enunciado trata de espaços vetoriais em \mathbb{R}^4. Em (a) precisamos verificar que
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:2x+y-t=0,\;z=0\}
é um subespaço, depois encontrar uma base e sua dimensão. Em (b) com
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x+y=0,\;z-t=0\}
vamos determinar uma base e a dimensão de W\cap U.

Passo 2

Para ver que W\) é subespaço basta notar que ele é o conjunto de soluções homogêneas do sistema linear \[\begin{cases} 2x+y-t=0,\\\ z=0, \end{cases}
logo contém o vetor zero e é fechado para soma e multiplicação por escalar. Para achar uma base, parametrize
x=a,\quad y=b,\quad z=0,\quad t=2a+b,
com a,b\in\mathbb{R}\]. Então \[(x,y,z,t)=a\,(1,0,0,2)+b\,(0,1,0,1).\] Disto segue que \[\{(1,0,0,2),\;(0,1,0,1)\}\] é um conjunto gerador e linearmente independente em \(W.

Passo 3

Concluímos que \dim W=2\). Agora, para \(W\cap U\), imponha simultaneamente as equações de \(W\) e de \(U\): \[\begin{cases} 2x+y-t=0,\\\ z=0,\\\ x+y=0,\\\ z-t=0. \end{cases}
De z=0\] e \(z-t=0 segue t=0. Substituindo em 2x+y-t=0 e x+y=0 obtemos
2x+y=0,\quad x+y=0
o que implica x=0 e y=0. Logo todo vetor em W\cap U é (0,0,0,0).

Resposta

(a) W é subespaço de \mathbb{R}^4 com
\text{base}:\\ \{(1,0,0,2),\,(0,1,0,1)\},\quad \dim W=2.
(b) W\cap U=\{(0,0,0,0)\} tem base vazia e \dim(W\cap U)=0.

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