Determinar, se possível, uma matriz M \in M_{2}(\mathbb{R}) de maneira que M^{-1} AM seja diagonal, nos seguintes casos:
a) \left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ 3 & 13\end{array}\right)
b) \left(\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede, para cada matriz A\in M_{2}(\mathbb{R}), encontrar uma matriz invertível M tal que M^{-1}AM seja diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização por mudança de base: vamos calcular o polinômio característico de A, achar seus autovalores reais e os autovetores correspondentes, e montar M com esses autovetores.

Passo 2

Caso (a): seja
A = \begin{pmatrix}2 & 4\\\ 3 & 13\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = (2-\lambda)(13-\lambda) - 3\cdot4 = \lambda^2 -15\lambda +14 = 0,
cuja solução dá os autovalores \lambda_1 = 1 e \lambda_2 = 14.

Passo 3

Para \lambda_1 = 1 resolvemos
\bigl(A - I\bigr)v = \begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & 12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x = -4y,
logo um autovetor é v_1 = (-4,\,1).
Para \lambda_2 = 14 resolvemos
\bigl(A - 14I\bigr)v = \begin{pmatrix}-12 & 4\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; y = 3x,
logo um autovetor é v_2 = (1,\,3).

Passo 4

Tomando
M = \begin{pmatrix}-4 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix},
cuja primeira coluna é v_1 e a segunda é v_2, verifica-se que
M^{-1}AM = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 14\end{pmatrix}.

Passo 5

Caso (b): seja
A = \begin{pmatrix}3 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = (3-\lambda)(1-\lambda) -(-2)\cdot2 = \lambda^2 -4\lambda +7,
cujo discriminante é \Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot7 = -12 < 0. Não há autovalores reais, logo não existe M\in M_{2}(\mathbb{R}) que diagonalize A.

Resposta

(a) Pode escolher
M = \begin{pmatrix}-4 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix},
então M^{-1}AM = \mathrm{diag}(1,14).
(b) Não existe matriz M\in M_{2}(\mathbb{R}) que torne M^{-1}AM diagonal.

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