[5] [2.5 pontos] Seja a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y)=(4 x+5 y, 2 x+y).
(a) Mostre que T é transformação linear.
(b) Obtenha os autovalores e autovetores de T.
(c) Té um operador diagonalizável? Justifique todos os passos.
Passo 1
O enunciado define T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (4x + 5y,\;2x + y).
O conteúdo é transformação linear, cálculo de autovalores/autovetores e critério de diagonalização. Para resolver, vamos verificar a linearidade de T, escrever sua matriz na base canônica, encontrar o polinômio característico, suas raízes e os espaços próprios correspondentes, e finalmente concluir sobre diagonalizabilidade.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar que, para todo (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R},
Como obtivemos dois autovalores distintos \lambda_1=6 e \lambda_2=-1 em \mathbb{R}^2, cada um com espaço próprio de dimensão 1 e geradores linearmente independentes, temos uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Isso garante que T é diagonalizável.
Resposta
(a) T é linear pois satisfaz aditividade e homogeneidade.
(b) Os autovalores são \lambda_1 = 6 com autovetores não nulos em \operatorname{span}\{(5,2)\} e \lambda_2 = -1 com autovetores não nulos em \operatorname{span}\{(1,-1)\}.
(c) Sim, T é diagonalizável, pois possui dois autovalores distintos em \mathbb{R}^2, o que gera dois autovetores independentemente lineares.