A transformação T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, T(A)=\operatorname{det} A é linear?

Passo 1

O enunciado define a aplicação \;T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R},\;T(A)=\det(A).
Para que T seja linear, ela deve satisfazer, para todo A,B\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e todo escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade:
    T(A+B)=T(A)+T(B).
  2. Homogeneidade:
    T(cA)=c\,T(A).

Passo 2

Vamos testar a aditividade com um contra-exemplo simples. Seja I a matriz identidade. Definimos \;A=I e \;B=I. Então:
\det(A+B)=\det(2I)=2^2\,\det(I)=4.
Em contraste,
\det(A)+\det(B)=1+1=2.
Como 4\neq2, concluímos que \;T(A+B)\neq T(A)+T(B),
logo T não satisfaz a aditividade.

Passo 3

Para reforçar, observemos também a homogeneidade. Para qualquer escalar c e matriz A:
T(cA)=\det(cA)=c^2\,\det(A),
ao passo que a linearidade exigiria
T(cA)=c\,\det(A)=c\,T(A).
Como em geral c^2\neq c (por exemplo c=2), a propriedade da homogeneidade também falha.

Resposta

A transformação T(A)=\det(A) não é linear.

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