A transformação
é linear?
Passo 1
O enunciado define a aplicação
.
Para que seja linear, ela deve satisfazer, para todo
e todo escalar
:
Para que
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Vamos testar a aditividade com um contra-exemplo simples. Seja
a matriz identidade. Definimos
e
. Então:
Em contraste,
Como
, concluímos que
,
logo não satisfaz a aditividade.
logo
Passo 3
Para reforçar, observemos também a homogeneidade. Para qualquer escalar
e matriz
:
ao passo que a linearidade exigiria
Como em geral
(por exemplo
), a propriedade da homogeneidade também falha.
Resposta
A transformação
não é linear.