[3, Ex.4, p.314] Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo-retângulo e com 1 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
Solução Sendo as medidas da base retangular da caixa e sua altura, o custo é dado pela função
pois o volume é . Assim, . As derivadas parciais são dadas por e . Resolvendo o sistema , obtemos o único ponto crítico . Pelo Teste da Derivada Segunda e pela natureza do problema, este será também um ponto de mínimo absoluto. Logo, as dimensões que minimizam o custo são dadas por e .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos construir uma caixa sem tampa, de base retangular com lados x e y e altura z, de volume 1 m³, de modo a minimizar o custo do material, sabendo que as laterais custam três vezes o fundo.
Passo 2
Modelamos o custo total como soma do custo do fundo mais das quatro laterais. Se o custo por área do fundo for unitário, o custo das laterais é triplo, e temos
Passo 3
Usamos a restrição de volume xyz=1 para eliminar z. Assim,
z=1xy,
e a função custo em duas variáveis vira
f(x,y)=xy+6l(1x+1yr)
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx=y-6x^2=0, fy=x-6y^2=0
Passo 5
Do primeiro obtemos y=6/x^2. Substituindo no segundo, achamos
x^3=6Rightarrow x=raiz[3]6,
e logo y=raiz[3]6.
Passo 6
Com os valores de x e y, z vem da restrição:
z=1xy=1(raiz[3]6)^2=6^-2/3=raiz[3]66
Passo 7
Pelo teste das derivadas segunda (ou pelo fato de o domínio ser aberto e o custo crescer nas bordas), esse ponto é mínimo global no domínio positivo, concluindo ser essa a solução ótima.