[3, Ex.4, p.314] Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo-retângulo e com 1 m^3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
Solução Sendo x, y as medidas da base retangular da caixa e z sua altura, o custo é dado pela função
f(x, y)=3(x z+y z)+x y, com z=1 /(x y)
pois o volume é x y z=1. Assim, f(x, y)=6x+6y+x y. As derivadas parciais são dadas por fx=-6 / x^2+y e fy=-6 / y^2+x. Resolvendo o sistema fx=fy=0, obtemos o único ponto crítico (raiz[3]6, raiz[3]6). Pelo Teste da Derivada Segunda e pela natureza do problema, este será também um ponto de mínimo absoluto. Logo, as dimensões que minimizam o custo são dadas por x=y=raiz[3]6 e z=raiz[3]6) / 6.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos construir uma caixa sem tampa, de base retangular com lados x e y e altura z, de volume 1 m³, de modo a minimizar o custo do material, sabendo que as laterais custam três vezes o fundo.

Passo 2

Modelamos o custo total como soma do custo do fundo mais das quatro laterais. Se o custo por área do fundo for unitário, o custo das laterais é triplo, e temos
C(x,y,z)=underbracexyfundo+3cdotunderbrace2z(x+y)laterais=xy+6z(x+y)

Passo 3

Usamos a restrição de volume xyz=1 para eliminar z. Assim,
z=1xy,
e a função custo em duas variáveis vira
f(x,y)=xy+6l(1x+1yr)

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx=y-6x^2=0, fy=x-6y^2=0

Passo 5

Do primeiro obtemos y=6/x^2. Substituindo no segundo, achamos
x^3=6Rightarrow x=raiz[3]6,
e logo y=raiz[3]6.

Passo 6

Com os valores de x e y, z vem da restrição:
z=1xy=1(raiz[3]6)^2=6^-2/3=raiz[3]66

Passo 7

Pelo teste das derivadas segunda (ou pelo fato de o domínio ser aberto e o custo crescer nas bordas), esse ponto é mínimo global no domínio positivo, concluindo ser essa a solução ótima.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são
x=y=raiz[3]6, z=raiz[3]66

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