Calcule o volume do sólido Omega comum aos cilindros x^2+y^2=a^2 e x^2+z^2=a^2, a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume do sólido Omega que é comum aos cilindros x^2+y^2=a^2 e x^2+z^2=a^2. Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma desses cilindros. O cilindro x^2+y^2=a^2 é um cilindro circular reto com raio a, estendendo-se ao longo do eixo z. Já o cilindro x^2+z^2=a^2 também é um cilindro circular reto com raio a, mas estende-se ao longo do eixo y.

Passo 3

Para encontrar o volume comum aos dois cilindros, vamos imaginar a região onde eles se sobrepõem. Essa forma geométrica é conhecida como sólido de Steinmetz. Para calcular o volume, podemos usar coordenadas cartesianas e configurar uma integral tripla.

Passo 4

Vamos estabelecer os limites de integração. Como os cilindros são simétricos em relação aos eixos, podemos calcular o volume em um oitavo da região e multiplicar por 8. Assim, vamos considerar x, y, z positivos.

Passo 5

Dentro desse oitavo, as equações dos cilindros se tornam:
y = raiza^2 - x^2 e z = raiza^2 - x^2
Então, para cada valor de x entre 0 e a, y e z variam de 0 a raiza^2 - x^2.

Passo 6

A integral tripla para o volume em um oitavo do sólido é:
Voitavo = integral0^a integral0^raiza^2 - x^2 integral0^raiza^2 - x^2 dz , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral mais interna primeiro:
integral0^raiza^2 - x^2 dz = raiza^2 - x^2
Agora, substituímos na segunda integral:
integral0^raiza^2 - x^2 raiza^2 - x^2 , dy = ( raiza^2 - x^2 ) y g|0^raiza^2 - x^2 = ( raiza^2 - x^2 )^2 = a^2 - x^2

Passo 8

Agora, sobra resolver a última integral:
Voitavo = integral0^a (a^2 - x^2) , dx
Essa é uma integral simples:
Voitavo = a^2x - x^33 g|0^a = a^3 - a^33 = 2a^33

Passo 9

Como calculamos o volume em um oitavo da região, multiplicamos por 8 para obter o volume total:
V = 8 times 2a^33 = 16a^33

Resposta

O volume do sólido Omega é 163 , a^3.

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