Calcule o volume do sólido comum aos cilindros e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume do sólido que é comum aos cilindros e . Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma desses cilindros. O cilindro é um cilindro circular reto com raio , estendendo-se ao longo do eixo . Já o cilindro também é um cilindro circular reto com raio , mas estende-se ao longo do eixo .
Passo 3
Para encontrar o volume comum aos dois cilindros, vamos imaginar a região onde eles se sobrepõem. Essa forma geométrica é conhecida como sólido de Steinmetz. Para calcular o volume, podemos usar coordenadas cartesianas e configurar uma integral tripla.
Passo 4
Vamos estabelecer os limites de integração. Como os cilindros são simétricos em relação aos eixos, podemos calcular o volume em um oitavo da região e multiplicar por 8. Assim, vamos considerar , , positivos.
Passo 5
Dentro desse oitavo, as equações dos cilindros se tornam:
Então, para cada valor de entre e , e variam de a .
Passo 6
A integral tripla para o volume em um oitavo do sólido é:
Passo 7
Vamos resolver a integral mais interna primeiro:
Agora, substituímos na segunda integral:
Passo 8
Agora, sobra resolver a última integral:
Voitavo = integral0^a (a^2 - x^2) , dx
Essa é uma integral simples:
Voitavo = a^2x - x^33 g|0^a = a^3 - a^33 = 2a^33
Passo 9
Como calculamos o volume em um oitavo da região, multiplicamos por 8 para obter o volume total: