Considere o problema de valor inicial
onde
.
Descreva o comportamento da solução quando
.
Descreva o comportamento da solução quando
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver o PVI de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e, em seguida, analisar o comportamento de sua solução quando
. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Escrevendo a equação característica associada a
, temos
Resolvendo-a pelo discriminante:
Logo, a solução geral é
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais. De
vem
E de
Resolvendo o sistema
obtemos
Passo 4
Portanto a solução exata é
Quando
Dependendo do sinal de
, isso diverge para +
, -
ou vai a zero.
Passo 5
Se
, então
e
. Se
, então
e
. No caso crítico
, o coeficiente de
zera e sobra apenas o termo
, fazendo
.
Resposta
Como
,
y(t)\sim\frac{2(2-\beta)}{5}e^{t/2}.
Logo diverge para +\infty se , para -\infty se
e tende a 0 se
.
y(t)\sim\frac{2(2-\beta)}{5}e^{t/2}.
Logo diverge para +\infty se