Considere o problema de valor inicial
2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=-beta,
onde R>0.
Descreva o comportamento da solução quando t infty.

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o PVI de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e, em seguida, analisar o comportamento de sua solução quando ttoinfty. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada a 2y''+3y'-2y=0, temos
2r^2+3r-2=0
Resolvendo-a pelo discriminante:
De
r=-3pm54implies r1=12, r2=-2
Logo, a solução geral é
y(t)=C,e^t/2+D,e^-2t

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais. De y(0)=1 vem
C+D=1
E de y'(t)=tfrac12 C e^t/2-2D e^-2t temos em t=0:
C2-2D=-beta
Resolvendo o sistema
C+D=1,C2-2D=-beta,
obtemos
D=1+2beta5, C=1-D=2(2-beta)5

Passo 4

Portanto a solução exata é
y(t)=2(2-beta)5,e^t/2+1+2beta5,e^-2t
Quando ttoinfty, o termo e^-2t decai a zero, e o comportamento é dominado por
y(t)sim2(2-beta)5,e^t/2
Dependendo do sinal de 2-beta, isso diverge para + infty, - infty ou vai a zero.

Passo 5

Se beta<2, então 2-beta>0 e y(t)to+infty. Se beta>2, então 2-beta<0 e y(t)to-infty. No caso crítico beta=2, o coeficiente de e^t/2 zera e sobra apenas o termo e^-2t, fazendo y(t)to0.

Resposta

Como ttoinfty,
y(t)\sim\frac{2(2-\beta)}{5}e^{t/2}.
Logo diverge para +\infty se beta<2, para -\infty se beta>2 e tende a 0 se beta=2.

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