Encontre as soluções da equação abaixo, separando as variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por separação de variáveis. Isso é um ODE de primeira ordem do tipo “separável”: podemos escrever todo termo em
multiplicando
de um lado e todo termo em
multiplicando
do outro.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
como
e separamos as variáveis:
$$
e{x+y}=ex,e^y
\frac{dy}{dx}=ex,ey$$
Reorganizando para isolar
de um lado e
do outro:
$$
e{-y},dy=ex,dx$$
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
Passo 4
No lado esquerdo
e no direito
. Então:
Passo 5
Multiplicando por
e definindo uma nova constante
, obtemos:
$$
e^{-y}=C_1- e^x$$
Passo 6
Por fim, isolamos
:
$$
y=-\ln\bigl(C_1- e^x\bigr)$$
Resposta
y(x)=-\ln\bigl(C- e^x\bigr), onde C é constante arbitrária