Encontre as soluções da equação abaixo, separando as variáveis.
d yd x=e^x+y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dydx=e^x+y por separação de variáveis. Isso é um ODE de primeira ordem do tipo “separável”: podemos escrever todo termo em y multiplicando dy de um lado e todo termo em x multiplicando dx do outro.

Passo 2

Primeiro, escrevemos e^x+y como e^x,e^y e separamos as variáveis:
$$
e{x+y}=ex,e^y e^x+y=e^x,e^y\frac{dy}{dx}=ex,ey$$
Reorganizando para isolar dydx=e^x,e^y de um lado e y do outro:
$$
e{-y},dy=ex,dx$$

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy=integral e^x,dx

Passo 4

No lado esquerdo integral e^-ydy=-e^-y e no direito integral e^x dx=e^x. Então:
- e^-y=e^x+C

Passo 5

Multiplicando por -1 e definindo uma nova constante C1=-C, obtemos:
$$
e^{-y}=C_1- e^x$$

Passo 6

Por fim, isolamos y:
$$
y=-\ln\bigl(C_1- e^x\bigr)$$

Resposta

y(x)=-\ln\bigl(C- e^x\bigr), onde C é constante arbitrária

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