[3.5] Considere a função
definida por
.
(a) [1.0] Determine
, o domínio de
.
(b)
Mostre que
é uma função par.
(c)
A reta
é assíntota vertical ao gráfico de
? Justifique!
(a) [1.0] Determine
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define
e pede: (a) o domínio
; (b) provar que
é par; (c) verificar se
é assíntota vertical. Vamos usar as condições de existência da raiz quadrada, a não nulidade do denominador e o comportamento de
quando
.
Passo 2
Para existir
é preciso
Além disso o denominador não pode ser zero:
o que exclui
e
.
Logo
Logo
Passo 3
Para mostrar que
é par calculamos
:
Logo
, isto é,
é par.
Passo 4
Verificamos o comportamento de
quando
. Para
próximo de
escrevemos
pois
e
.
Então
Então
Quando
,
e
, logo
.
Quando ,
e
, logo
.
Como a função torna-se ilimitada nos dois lados de , a reta
é assíntota vertical.
Quando
Como a função torna-se ilimitada nos dois lados de
Resposta
(a)
\n
(b) é par, pois
\n
(c) Sim. e
, logo
é assíntota vertical.
(b)
(c) Sim.