[3.5] Considere a função f definida por f(x)=raiz4-x^2(x^6-x^4)^5.
(a) [1.0] Determine D(f), o domínio de f.
(b) [1 0] Mostre que f é uma função par.
(c) [1 5] A reta x=1 é assíntota vertical ao gráfico de f ? Justifique!

Passo 1

O enunciado define
f(x) = raiz4 - x^2l(x^6 - x^4r)^5
e pede: (a) o domínio D(f); (b) provar que f é par; (c) verificar se x=1 é assíntota vertical. Vamos usar as condições de existência da raiz quadrada, a não nulidade do denominador e o comportamento de f(x) quando xto1^pm.

Passo 2

Para existir raiz4 - x^2 é preciso
4 - x^2 >= 0 Longrightarrow -2 <= x <= 2
Além disso o denominador não pode ser zero:
l(x^6 - x^4r)^5 neq 0 Longrightarrow x^6 - x^4 neq 0 Longrightarrow x^4,(x^2 - 1)neq0
o que exclui x=0 e x=pm1.
Logo
D(f) = [-2,2]setminus-1,0,1

Passo 3

Para mostrar que f é par calculamos f(-x):
f(-x) = raiz4 - (-x)^2l((-x)^6 - (-x)^4r)^5 = raiz4 - x^2l(x^6 - x^4r)^5 = f(x)
Logo f(-x)=f(x), isto é, f é par.

Passo 4

Verificamos o comportamento de f(x) quando xto1. Para x próximo de 1 escrevemos
x^6 - x^4 = x^4(x^2 -1) = x^4,(x-1)(x+1)sim (x-1)cdot2,
pois x^4approx1 e x+1approx2.
Então
f(x)sim raiz4-1l[2(x-1)r]^5 = raiz332,(x-1)^5
Quando xto1^-, (x-1)^5<0 e lvert(x-1)^5rvertto0, logo f(x)to-infty.
Quando xto1^+, (x-1)^5>0 e lvert(x-1)^5rvertto0, logo f(x)to+infty.
Como a função torna-se ilimitada nos dois lados de x=1, a reta x=1 é assíntota vertical.

Resposta

(a) D(f)=[-2,2]setminus-1,0,1\n
(b) f é par, pois f(-x)=f(x)\n
(c) Sim. limxto1^-f(x)=-infty e limxto1^+f(x)=+infty, logo x=1 é assíntota vertical.

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