Se
for um campo vetorial e existir alguma curva fechada
orientada no sentido anti-horário tal que
, então
será conservativo.
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso
a. Verdadeiro
b. Falso
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo vetorial
e sabemos que existe uma curva fechada
orientada no sentido anti-horário tal que
.
Queremos saber se isso já garante que seja conservativo. Lembrando que o tema aqui é “campos conservativos e integrais de linha em curvas fechadas”.
Queremos saber se isso já garante que
Passo 2
Definição prática: dizemos que
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Um teorema fundamental afirma que, em domínio simplesmente conectado, isso é equivalente a ter
para toda curva fechada
contida no domínio de
.
O enunciado, porém, só garante que a integral é zero para alguma curva fechada
, não para todas. Ter uma única curva com integral nula não impede que em outras curvas fechadas o valor seja diferente de zero. Logo falta informação: precisamos da integral nula para todas as curvas fechadas, não apenas para uma delas.
Passo 3
Um exemplo que ilustra bem isso é
definido em
. Este campo não é conservativo (o domínio não é simplesmente conectado e em voltas ao redor da origem obtemos integral não nula).
Porém, se você escolher uma curva fechada que não envolva a origem (por exemplo, um círculo centrado em
de raio pequeno), ainda vale
Porém, se você escolher uma curva fechada
Logo existe pelo menos uma curva fechada com integral nula, mas
não é conservativo globalmente.
Passo 4
Como basta um contraexemplo para refutar a afirmação, concluímos que o fato de existir alguma curva fechada com integral nula não garante que
seja conservativo.
Resposta
b. Falso