Se F for um campo vetorial e existir alguma curva fechada C orientada no sentido anti-horário tal que integralC F d C=0, então F será conservativo.
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo vetorial F e sabemos que existe uma curva fechada C orientada no sentido anti-horário tal que
integralCFcdot dr=0.
Queremos saber se isso já garante que F seja conservativo. Lembrando que o tema aqui é “campos conservativos e integrais de linha em curvas fechadas”.

Passo 2

Definição prática: dizemos que F é conservativo se existe uma função potencial phi tal que F=nablaphi. Um teorema fundamental afirma que, em domínio simplesmente conectado, isso é equivalente a ter
ointCFcdot dr=0
para toda curva fechada C contida no domínio de F.
O enunciado, porém, só garante que a integral é zero para alguma curva fechada C, não para todas. Ter uma única curva com integral nula não impede que em outras curvas fechadas o valor seja diferente de zero. Logo falta informação: precisamos da integral nula para todas as curvas fechadas, não apenas para uma delas.

Passo 3

Um exemplo que ilustra bem isso é
F(x,y)=l(-yx^2+y^2,,xx^2+y^2r),
definido em R^2setminus(0,0). Este campo não é conservativo (o domínio não é simplesmente conectado e em voltas ao redor da origem obtemos integral não nula).
Porém, se você escolher uma curva fechada C que não envolva a origem (por exemplo, um círculo centrado em (2,0) de raio pequeno), ainda vale
ointCFcdot dr=0
Logo existe pelo menos uma curva fechada com integral nula, mas F não é conservativo globalmente.

Passo 4

Como basta um contraexemplo para refutar a afirmação, concluímos que o fato de existir alguma curva fechada com integral nula não garante que F seja conservativo.

Resposta

b. Falso

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