Considere a região delimitada pelas curvas e . Seja o sólido obtido pela rotação de em torno do eixo .
(a) Calcule o volume do sólido pelo método das fatıas.
(b) Confira o resultado do item (a), calculando o volume de pelo método das cascas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado dá a região limitada pelas curvas , e . Ao girar em torno do eixo gera-se o sólido .
Conteúdo: cálculo de volume de revolução. Vamos usar em (a) o método das fatias (discos/anel) e em (b) o método das cascas cilíndricas para conferir o mesmo resultado.
Passo 2
Método das fatias: cortamos o sólido por planos perpendiculares ao eixo . Para variando de a (pois em ), a secção transversal é um anel de raio externo e raio interno .
Passo 3
Calculamos a integral:
Multiplicando por pi,
V = picdote^2+12
Passo 4
Método das cascas cilíndricas: cortamos por tiras horizontais, cada uma em yin[1,e]. Para dado y, a tira vai de x=0 até x=ln y, e ao girar gera casca de raio y, altura ln y e espessura dy.
V = integraly=1^e 2pil(raior)l(a<urar),dy = 2piintegral1^eyln y,dy
Passo 5
Fazendo integração por partes em integral yln y,dy, com u=ln y, dv=y,dy, obtemos
integral yln y,dy =y^22ln y - integraly^22cdot1ydy =y^22ln y - y^24