[3,5] Considere a região R delimitada pelas curvas prime=e^x, x=0 e y=e. Seja S o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x.
(a) Calcule o volume do sólido S pelo método das fatıas.
(b) Confira o resultado do item (a), calculando o volume de S pelo método das cascas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas y=e^x, x=0 e y=e. Ao girar R em torno do eixo x gera-se o sólido S.
Conteúdo: cálculo de volume de revolução. Vamos usar em (a) o método das fatias (discos/anel) e em (b) o método das cascas cilíndricas para conferir o mesmo resultado.

Passo 2

Método das fatias: cortamos o sólido por planos perpendiculares ao eixo x. Para x variando de 0 a 1 (pois e^x=e em x=1), a secção transversal é um anel de raio externo Rrm ext=e e raio interno Rrm int=e^x.
V=integralx=0^1pil[Rrm ext^2 - Rrm int^2r],dx =piintegral0^1l(e^2 - e^2xr),dx

Passo 3

Calculamos a integral:
integral0^1l(e^2 - e^2xr),dx = e^2l[xr]0^1 - integral0^1e^2x,dx = e^2 - e^2x2|0^1 = e^2 - e^2 - 12 =e^2+12
Multiplicando por pi,
V = picdote^2+12

Passo 4

Método das cascas cilíndricas: cortamos por tiras horizontais, cada uma em yin[1,e]. Para dado y, a tira vai de x=0 até x=ln y, e ao girar gera casca de raio y, altura ln y e espessura dy.
V = integraly=1^e 2pil(raior)l(a<urar),dy = 2piintegral1^eyln y,dy

Passo 5

Fazendo integração por partes em integral yln y,dy, com u=ln y, dv=y,dy, obtemos
integral yln y,dy =y^22ln y - integraly^22cdot1ydy =y^22ln y - y^24
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V=2pil[y^22ln y - y^24r]1^e =2pil(e^22cdot1 - e^24 - l(0 - tfrac14r)r) =pie^2+12,
coincidindo com o método das fatias.

Resposta

V = pi2l(e^2 + 1r)

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