Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
(2 x e^y-y sen x) d x+(cos x-2+x^2 e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = 2x e^y - ysin x, N(x,y) = cos x - 2 + x^2e^y
O conteúdo é de equação exata, então vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M, partial Phipartial y = N

Passo 2

Verificamos se a forma é exata, isto é, se
partial Mpartial y stackrel?= partial Npartial x
Calculando cada derivada:
partial Mpartial y = 2x e^y - sin x, partial Npartial x = -sin x + 2x e^y = 2x e^y - sin x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos a função potencial Phi(x,y) integrando M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y) = integral l(2x e^y - ysin xr),dx = 2 e^y,x^22 - yl(-cos xr) + h(y) = x^2e^y + ycos x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo agora
partial Phipartial y = N(x,y),
temos
partial partial yl(x^2e^y + ycos x + h(y)r) = x^2e^y + cos x + h'(y) stackrel!= cos x - 2 + x^2e^y
Logo
h'(y) = -2 Longrightarrow h(y) = -2y + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em Phi, obtemos a solução implícita geral
Phi(x,y) = x^2e^y + ycos x - 2y = C,
onde C absorve C1.

Resposta

x^2e^y + ycos x - 2y = C,
com C constante arbitrária.

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