3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^n+1x^n
Este é um exercício de raio de convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio R e depois checar o comportamento nos extremos x=pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série sum an x^n com an = (-1)^n+1. Calculamos
L = limntoinfty|an+1x^n+1an x^n| =limntoinftyl|xr| =l|xr|
O teste diz que a série converge se L<1, ou seja, se lvert xrvert<1.

Passo 3

Portanto o raio de convergência é
R = 1,
e já sabemos que a série converge para lvert xrvert<1. Agora precisamos verificar x=1 e x=-1.

Passo 4

Para x=1 a série vira
sumn=0^infty(-1)^n+1cdot1^n =sumn=0^infty(-1)^n+1,
cuja soma parcial oscila entre -1 e 0, logo diverge.
Para x=-1 a série é
sumn=0^infty(-1)^n+1,(-1)^n =sumn=0^infty(-1)^2n+1 =sumn=0^infty(-1)
que é -1-1-1-cdots e também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é ,(-1,1).

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