(1,0 ponto) Suponha que
é derivável em
. Prove que
Passo 1
O enunciado diz que
é derivável em
e pede para provar
O que vamos usar é a definição de derivada
e a propriedade de linearidade dos limites.
Passo 2
Observe que o quociente simétrico pode ser escrito como soma de dois quocientes usuais:
Aqui apenas somamos e subtraímos
no numerador e factorizamos
.
Passo 3
Como
é derivável em
, temos
(substituímos
no segundo limite). Então, pela linearidade dos limites,