(1,0 ponto) Suponha que f:(a, b) R é derivável em x0 in(a, b). Prove que
f^prime(x0)=lim h 0 f(x0+h)-f(x0-h)2 h

Passo 1

O enunciado diz que f:(a,b)toR é derivável em x0in(a,b) e pede para provar
f^prime(x0)=limhto 0f(x0+h)-f(x0-h)2h
O que vamos usar é a definição de derivada
f^prime(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h
e a propriedade de linearidade dos limites.

Passo 2

Observe que o quociente simétrico pode ser escrito como soma de dois quocientes usuais:
f(x0+h)-f(x0-h)2h =12l(f(x0+h)-f(x0)h+f(x0)-f(x0-h)hr)
Aqui apenas somamos e subtraímos f(x0) no numerador e factorizamos 1/(2h).

Passo 3

Como f é derivável em x0, temos
limhto0f(x0+h)-f(x0)h=f^prime(x0), limhto0f(x0)-f(x0-h)h =limkto0f(x0+k)-f(x0)k=f^prime(x0)
(substituímos k=-h no segundo limite). Então, pela linearidade dos limites,
limhto0f(x0+h)-f(x0-h)2h =12l(f^prime(x0)+f^prime(x0)r) =f^prime(x0)

Resposta

f^prime(x0) =limhto0f(x0+h)-f(x0-h)2h

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