[3 pt] Considere f uma função definida por
f(x)=\frac{x+1}{e^{x^{2}+1}} .
Encontre
(a) os pontos máximos e mínimos relativos de f.
(b) os pontos de inflexão de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+1}{e^{x^{2}+1}}
e pede duas coisas:
(a) Encontrar os pontos máximos e mínimos relativos de f.
(b) Encontrar os pontos de inflexão de f.
Informações relevantes do enunciado:
\text{função: }f(x)=\frac{x+1}{e^{x^{2}+1}}.çã
Não há restrição de domínio explícita (portanto o domínio é todo \mathbb{R}). A tarefa exige localizar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e pontos de inflexão (onde f''(x)=0 com troca de concavidade).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever f de forma que a diferenciação fique mais simples. Convém usar a forma produto:
f(x)=(x+1)e^{-(x^{2}+1)}.
Vou calcular f'(x) usando a regra do produto e a regra da cadeia. Lembrete rápido das regras usadas:
  • Regra do produto: se u(x)v(x), então (uv)'=u'v+uv'.
  • Derivada da exponencial composta: se h(x)=e^{\varphi(x)}, então h'(x)=\varphi'(x)e^{\varphi(x)}. Aqui \varphi(x)=-(x^{2}+1) então \varphi'(x)=-2x.
Aplicando estas regras:
\begin{aligned} f'(x)&=(x+1)'\,e^{-(x^{2}+1)}+(x+1)\,\big(e^{-(x^{2}+1)}\big)'\\[4pt] &=1\cdot e^{-(x^{2}+1)}+(x+1)\cdot\big(-2x\big)e^{-(x^{2}+1)}\\[4pt] &=e^{-(x^{2}+1)}\big(1-2x(x+1)\big). \end{aligned}
Podemos simplificar o fator entre parênteses:
1-2x(x+1)=1-2x^{2}-2x.
Logo
\boxed{f'(x)=e^{-(x^{2}+1)}\big(1-2x^{2}-2x\big).}]

Passo 3

Para achar pontos críticos resolvemos f'(x)=0. Como e^{-(x^{2}+1)}>0 para todo x, basta resolver a equação polinomial
1-2x^{2}-2x=0.
Reescrevendo:
2x^{2}+2x-1=0.
Isso é uma quadrática; aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2} =\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{4} =\frac{-2\pm\sqrt{12}}{4} =\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{4} =\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}.
Portanto os pontos críticos são
\boxed{x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.}

Passo 4

Agora classificamos esses pontos (mínimo ou máximo relativo). Vou usar o teste da segunda derivada: se f''(x_c)>0 então x_c é mínimo local; se f''(x_c)<0 então é máximo local. Primeiro calculamos f''(x). Parto de
f'(x)=e^{-(x^{2}+1)}g(x)\quad\text{com}\quad g(x)=1-2x-2x^{2}.
Derivando e aplicando produto novamente:
f''(x)=\big(e^{-(x^{2}+1)}\big)'g(x)+e^{-(x^{2}+1)}g'(x).
Sabendo \big(e^{-(x^{2}+1)}\big)'=-2x\,e^{-(x^{2}+1)} e g'(x)=-2-4x, obtemos
\begin{aligned} f''(x)&=-2x\,e^{-(x^{2}+1)}g(x)+e^{-(x^{2}+1)}(-2-4x)\\[4pt] &=e^{-(x^{2}+1)}\big(-2xg(x)-2-4x\big). \end{aligned}
Agora simplifico o polinômio interior. Calculando -2xg(x)-2-4x:
\begin{aligned} -2x(1-2x-2x^{2})-2-4x&=-2x+4x^{2}+4x^{3}-2-4x\\[4pt] &=4x^{3}+4x^{2}-6x-2. \end{aligned}
Logo
\boxed{f''(x)=e^{-(x^{2}+1)}\big(4x^{3}+4x^{2}-6x-2\big).}
Para fatorar o polinômio cúbico 4x^{3}+4x^{2}-6x-2, primeiro divido por 2 para simplificar:
4x^{3}+4x^{2}-6x-2=2\big(2x^{3}+2x^{2}-3x-1\big).
Verifico uma raiz simples: substituindo x=1 obtenho 2+2-3-1=0, logo x=1 é raiz. Faço divisão polinomial de 2x^{3}+2x^{2}-3x-1 por (x-1) e obtenho o quociente 2x^{2}+4x+1. Assim
4x^{3}+4x^{2}-6x-2=2(x-1)(2x^{2}+4x+1).
Portanto podemos escrever
\boxed{f''(x)=2e^{-(x^{2}+1)}(x-1)(2x^{2}+4x+1).}]

Passo 5

Usamos essa forma fatorada para avaliar f'' nos pontos críticos e determinar se são máximo ou mínimo.
Os pontos críticos eram
x_{1}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\approx -1{,}366\quad\text{e}\quad x_{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}366.
Observações úteis:
  • O fator 2e^{-(x^{2}+1)} é sempre positivo. Portanto o sinal de f''(x) é o mesmo do produto (x-1)(2x^{2}+4x+1).
  • Vou avaliar o sinal desse produto em cada x_{i}.
Calcule o valor do fator quadrático em cada ponto crítico (só o sinal importa):
Para x_{1}\approx -1{,}366:
2x_{1}^{2}+4x_{1}+1\approx 2(1{,}866)-5{,}464+1\approx -0{,}732\quad(\text{negativo}).
E x_{1}-1\approx -2{,}366 também é negativo. Produto: negativo \times negativo = positivo, logo f''(x_{1})>0. Conclusão: x_{1} é ponto de mínimo relativo.
Para x_{2}\approx 0{,}366:
2x_{2}^{2}+4x_{2}+1\approx 0{,}268+1{,}464+1\approx 2{,}732\quad(\text{positivo}).
E x_{2}-1\approx -0{,}634 é negativo. Produto: negativo, logo f''(x_{2})<0. Conclusão: x_{2} é ponto de máximo relativo.

Passo 6

Agora calculo as coordenadas completas dos extremos (isto é, x e f(x)). Uso a forma f(x)=(x+1)e^{-(x^{2}+1)}.
Para x_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}:
x_{1}+1=\frac{1-\sqrt{3}}{2},\qquad x_{1}^{2}+1=2+\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\boxed{f\!\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\,e^{-\left(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}.}
Esse ponto é mínimo relativo.
Para x_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}:
x_{2}+1=\frac{1+\sqrt{3}}{2},\qquad x_{2}^{2}+1=2-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\boxed{f\!\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\,e^{-\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}.}
Esse ponto é máximo relativo.
(Se quiser valores numéricos aproximados: mínimo em x\approx -1{,}366 com f\approx -0{,}0208; máximo em x\approx 0{,}366 com f\approx 0{,}440.)

Passo 7

Pontos de inflexão: pontos onde f''(x)=0 e há troca de concavidade. Como
f''(x)=2e^{-(x^{2}+1)}(x-1)(2x^{2}+4x+1),
os zeros de f'' ocorrem quando (x-1)(2x^{2}+4x+1)=0, isto é:
x-1=0\quad\text{ou}\quad 2x^{2}+4x+1=0.
A primeira dá x=1. Para a quadrática aplico Bhaskara:
x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{4}=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{4}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{4}=-1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto as abscissas dos pontos de inflexão são
x=1,\quad x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2},\quad x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Preciso também verificar que em cada uma dessas abscissas a concavidade realmente troca de sinal. Como os fatores são simples e o produto (x-1)(2x^{2}+4x+1) muda de sinal ao atravessar cada raiz simples, há troca de concavidade em cada uma delas — logo são pontos de inflexão de fato.
Posso dar as coordenadas completas usando f(x)=(x+1)e^{-(x^{2}+1)}:
Para x=1:
f(1)=\frac{1+1}{e^{1^{2}+1}}=\frac{2}{e^{2}}.
Para x=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} note que x+1=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e
x^{2}+1=\frac{5}{2}-\sqrt{2},
logo
f\!\left(-1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-\left(\frac{5}{2}-\sqrt{2}\right)}.
Para x=-1-\dfrac{\sqrt{2}}{2} note que x+1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e
x^{2}+1=\frac{5}{2}+\sqrt{2},
logo
f\!\left(-1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-\left(\frac{5}{2}+\sqrt{2}\right)}.

Resposta

(a) Mínimo relativo em \displaystyle\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\,e^{-\left(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right)
(a) Máximo relativo em \displaystyle\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\,e^{-\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right)
(b) Pontos de inflexão em \displaystyle\left(1,\;\frac{2}{e^{2}}\right),\quad\left(-1+\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-\left(\frac{5}{2}-\sqrt{2}\right)}\right),\quad\left(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},\;-\frac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-\left(\frac{5}{2}+\sqrt{2}\right)}\right)

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