[3 pt] Considere
uma função definida por
Encontre
(a) os pontos máximos e mínimos relativos de
.
(b) os pontos de inflexão de
.
(a) os pontos máximos e mínimos relativos de
(b) os pontos de inflexão de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) Encontrar os pontos máximos e mínimos relativos de
.
(b) Encontrar os pontos de inflexão de .
(b) Encontrar os pontos de inflexão de
Informações relevantes do enunciado:
Não há restrição de domínio explícita (portanto o domínio é todo
). A tarefa exige localizar pontos críticos (onde
ou
não existe) e pontos de inflexão (onde
com troca de concavidade).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
de forma que a diferenciação fique mais simples. Convém usar a forma produto:
Vou calcular
usando a regra do produto e a regra da cadeia. Lembrete rápido das regras usadas:
- Regra do produto: se
, então . - Derivada da exponencial composta: se
, então . Aqui então .
Aplicando estas regras:
Podemos simplificar o fator entre parênteses:
Logo
Passo 3
Para achar pontos críticos resolvemos
. Como
para todo
, basta resolver a equação polinomial
Reescrevendo:
Isso é uma quadrática; aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Agora classificamos esses pontos (mínimo ou máximo relativo). Vou usar o teste da segunda derivada: se
então
é mínimo local; se
então é máximo local. Primeiro calculamos
. Parto de
Derivando e aplicando produto novamente:
Sabendo
e
, obtemos
Agora simplifico o polinômio interior. Calculando
:
Logo
Para fatorar o polinômio cúbico
, primeiro divido por
para simplificar:
Verifico uma raiz simples: substituindo
obtenho
, logo
é raiz. Faço divisão polinomial de
por
e obtenho o quociente
. Assim
Portanto podemos escrever
Passo 5
Usamos essa forma fatorada para avaliar
nos pontos críticos e determinar se são máximo ou mínimo.
Os pontos críticos eram
Observações úteis:
- O fator
é sempre positivo. Portanto o sinal de é o mesmo do produto . - Vou avaliar o sinal desse produto em cada
.
Calcule o valor do fator quadrático em cada ponto crítico (só o sinal importa):
Para :
Para
E
também é negativo. Produto: negativo
negativo = positivo, logo
. Conclusão:
é ponto de mínimo relativo.
Para
:
E
é negativo. Produto: negativo, logo
. Conclusão:
é ponto de máximo relativo.
Passo 6
Agora calculo as coordenadas completas dos extremos (isto é,
e
). Uso a forma
.
Para
:
Logo
Esse ponto é mínimo relativo.
Para
:
Logo
Esse ponto é máximo relativo.
(Se quiser valores numéricos aproximados: mínimo em
com
; máximo em
com
.)
Passo 7
Pontos de inflexão: pontos onde
e há troca de concavidade. Como
os zeros de
ocorrem quando
, isto é:
A primeira dá
. Para a quadrática aplico Bhaskara:
Portanto as abscissas dos pontos de inflexão são
Preciso também verificar que em cada uma dessas abscissas a concavidade realmente troca de sinal. Como os fatores são simples e o produto
muda de sinal ao atravessar cada raiz simples, há troca de concavidade em cada uma delas — logo são pontos de inflexão de fato.
Posso dar as coordenadas completas usando
:
Para
:
Para
note que
e
logo
Para
note que
e
logo
Resposta
(a) Mínimo relativo em
(a) Máximo relativo em
(a) Máximo relativo em
(b) Pontos de inflexão em