Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x^{2}-2 x+2}{x^{3}+2 x^{2}-8 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-2 x+2}{x^{3}+2 x^{2}-8 x}\,dx.
Informações dadas e objetivos claros:
  • Temos uma função racional: numerador \,x^{2}-2x+2 e denominador \,x^{3}+2x^{2}-8x.
  • Queremos encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função.
  • O resultado deve incluir a constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para tentar decompor em frações parciais. Fatoremos
x^{3}+2x^{2}-8x.
Colocando x em evidência:
x^{3}+2x^{2}-8x = x\,(x^{2}+2x-8).
Agora fatoramos a quadrática \,x^{2}+2x-8. Procuramos dois números cuja soma seja 2 e produto seja -8: são 4 e -2. Logo
x^{2}+2x-8 = (x+4)(x-2).
Portanto o denominador fatorado é
x^{3}+2x^{2}-8x = x\,(x+4)\,(x-2).

Passo 3

Usaremos decomposição em frações parciais. Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, existe decomposição da forma
\frac{x^{2}-2x+2}{x(x+4)(x-2)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+4}+\frac{C}{x-2},
onde A,B,C são constantes a determinar. Esta técnica funciona assim: escrevemos a igualdade acima e multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x(x+4)(x-2) para obter uma identidade polinomial.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x+4)(x-2) obtemos
x^{2}-2x+2 = A\,(x+4)(x-2) + B\,x(x-2) + C\,x(x+4).
Explicando: aqui usamos que cada termo do lado direito foi cancelado por todos os fatores exceto o do respectivo denominador, deixando o produto dos outros dois fatores.

Passo 5

Para encontrar A,B,C é prático usar valores de x que anulem fatores do lado direito (método das raízes). Escolhemos x=0,\,x=2,\,x=-4.
  • Para x=0: LHS =0^{2}-2\cdot0+2=2. No RHS, somente o termo com A permanece (os outros têm fator x e anulam-se):
2 = A\,(0+4)(0-2) = A\cdot 4\cdot(-2) = -8A.
Logo
A = -\frac{1}{4}.
  • Para x=2: LHS =2^{2}-2\cdot2+2 = 4-4+2=2. No RHS, apenas o termo com C sobrevive (os outros têm fator x-2):
2 = C\cdot 2\cdot(2+4) = C\cdot 2\cdot 6 = 12C,
logo
C = \frac{1}{6}.
  • Para x=-4: LHS =(-4)^{2}-2(-4)+2 = 16+8+2 = 26. No RHS, apenas o termo com B permanece (os outros têm fator x+4):
26 = B\cdot (-4)\cdot(-4-2) = B\cdot (-4)\cdot(-6) = 24B,
logo
B = \frac{26}{24} = \frac{13}{12}.

Passo 6

Conferência rápida (opcional mas bom para segurança): expandindo os coeficientes deveríamos ter a identidade polinomial válida. Usando A=-\tfrac{1}{4}, B=\tfrac{13}{12}, C=\tfrac{1}{6} verificam-se as igualdades dos coeficientes de x^{2}, x e termo independente (fizemos isso mentalmente ao resolver, mas a técnica de substituição por raízes garante consistência).
Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{x^{2}-2x+2}{x(x+4)(x-2)} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x} + \frac{13}{12}\cdot\frac{1}{x+4} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x-2}.

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica:
  • A integral de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a| (mais constante). Sempre incluir valor absoluto dentro do logaritmo porque a primitiva é definida para x em intervalos onde a função não muda de sinal.
    Então
\int -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx = -\frac{1}{4}\ln|x| + C_1,
\int \frac{13}{12}\cdot\frac{1}{x+4}\,dx = \frac{13}{12}\ln|x+4| + C_2,
\int \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{1}{6}\ln|x-2| + C_3.
Somando e juntando as constantes (todas se combinam numa única constante C), obtemos a primitiva completa.

Passo 8

Escrevendo a primitiva final:
\int \frac{x^{2}-2x+2}{x^{3}+2x^{2}-8x}\,dx = -\frac{1}{4}\ln|x| + \frac{13}{12}\ln|x+4| + \frac{1}{6}\ln|x-2| + C.
Podemos, se quisermos, reunir num único logaritmo usando propriedades dos logaritmos, mas não é necessário. Lembre-se de que C é constante de integração.

Resposta

-\frac{1}{4}\ln|x|+\frac{13}{12}\ln|x+4|+\frac{1}{6}\ln|x-2|+C

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