Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivos claros:
- Temos uma função racional: numerador
e denominador . - Queremos encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função.
- O resultado deve incluir a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para tentar decompor em frações parciais. Fatoremos
Colocando
em evidência:
Agora fatoramos a quadrática
. Procuramos dois números cuja soma seja
e produto seja
: são
e
. Logo
Portanto o denominador fatorado é
Passo 3
Usaremos decomposição em frações parciais. Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, existe decomposição da forma
onde
são constantes a determinar. Esta técnica funciona assim: escrevemos a igualdade acima e multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum
para obter uma identidade polinomial.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Explicando: aqui usamos que cada termo do lado direito foi cancelado por todos os fatores exceto o do respectivo denominador, deixando o produto dos outros dois fatores.
Passo 5
Para encontrar
é prático usar valores de
que anulem fatores do lado direito (método das raízes). Escolhemos
.
- Para
: LHS . No RHS, somente o termo com permanece (os outros têm fator e anulam-se):
Logo
- Para
: LHS . No RHS, apenas o termo com sobrevive (os outros têm fator ):
logo
- Para
: LHS . No RHS, apenas o termo com permanece (os outros têm fator ):
logo
Passo 6
Conferência rápida (opcional mas bom para segurança): expandindo os coeficientes deveríamos ter a identidade polinomial válida. Usando
,
,
verificam-se as igualdades dos coeficientes de
,
e termo independente (fizemos isso mentalmente ao resolver, mas a técnica de substituição por raízes garante consistência).
Portanto a decomposição em frações parciais é
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica:
- A integral de
é (mais constante). Sempre incluir valor absoluto dentro do logaritmo porque a primitiva é definida para em intervalos onde a função não muda de sinal.
Então
Somando e juntando as constantes (todas se combinam numa única constante
), obtemos a primitiva completa.
Passo 8
Escrevendo a primitiva final:
Podemos, se quisermos, reunir num único logaritmo usando propriedades dos logaritmos, mas não é necessário. Lembre-se de que
é constante de integração.