[3.] Encontre a solução do problema de valor inicial,
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, exatamente como está (sem resolver ainda).
- Equação diferencial e condição inicial dadas:
definidas no intervalo
.
- O que se pede: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial em todo o intervalo indicado e que verifica .
Passo 2
Identificar a forma útil da equação e a estratégia geral (aqui vou ensinar o método usado).
- A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
onde
e
são funções conhecidas de
. Neste problema, vamos identificar explicitamente essas funções (no próximo passo).
- Método que vamos usar: fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
(o fator integrante) que torne o lado esquerdo exatamente a derivada de um produto . Ou seja, queremos tal que
Comparando com
vê-se que basta exigir
. Essa é uma equação separável para
; sua solução geral é
onde a exponencial garante
. Depois de encontrar
, multiplicamos a equação original por
, integramos e isolamos
.
- Explicando os símbolos:
-
é a função incógnita que queremos. -
é a derivada de em relação a . -
e são as funções que aparecem na equação linear padrão.
-
Passo 3
Identificar
e
e calcular o fator integrante
.
- Aqui temos
-
Calcular
. -
Lembrando a integral básica
. Então
- Observação sobre o valor absoluto: no intervalo dado
tem-se , portanto e podemos escrever
válido para todo
do intervalo considerado.
Passo 4
Multiplicar a equação por
e usar a propriedade que torna o lado esquerdo uma derivada de produto.
- Multiplicando por
obtemos
- Repare que
. Assim o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto :
- O lado direito simplifica porque
. Logo a equação multiplicada fica
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter uma expressão para
com constante arbitrária.
- Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
- Agora isolar
. Como , tem-se
Essa é a solução geral da equação diferencial, com
indeterminado.
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante
.
- A condição inicial é
. Avaliando a expressão geral em :
- Portanto a condição inicial dá
.
Passo 7
Checagem rápida (raciocínio): com
a constante está determinada como acima, o fator integrante foi calculado considerando
no intervalo dado (o que é correto), e a integração foi direta. Logo a constante
encontrada é válida e única para a condição inicial fornecida.