[3.] Encontre a solução do problema de valor inicial,
u^{\prime}+(\tan t) u=\cos t, \quad u(0)=1, \quad \text { em } \quad-\pi / 2<t<\pi / 2

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, exatamente como está (sem resolver ainda).
  • Equação diferencial e condição inicial dadas:
u^{\prime}+(\tan t)\,u=\cos t,\qquad u(0)=1,
definidas no intervalo -\pi/2<t<\pi/2.
  • O que se pede: encontrar a função u(t) que satisfaça a equação diferencial em todo o intervalo indicado e que verifica u(0)=1.

Passo 2

Identificar a forma útil da equação e a estratégia geral (aqui vou ensinar o método usado).
  • A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
u'+p(t)\,u=q(t),
onde p(t) e q(t) são funções conhecidas de t. Neste problema, vamos identificar explicitamente essas funções (no próximo passo).
  • Método que vamos usar: fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) (o fator integrante) que torne o lado esquerdo exatamente a derivada de um produto \mu(t)u(t). Ou seja, queremos \mu(t) tal que
\big(\mu(t)u(t)\big)'=\mu(t)u'(t)+\mu'(t)u(t).
Comparando com \mu(t)u'(t)+\mu(t)p(t)u(t) vê-se que basta exigir \mu'(t)=\mu(t)p(t). Essa é uma equação separável para \mu; sua solução geral é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big),
onde a exponencial garante \mu'(t)=p(t)\mu(t). Depois de encontrar \mu, multiplicamos a equação original por \mu, integramos e isolamos u.
  • Explicando os símbolos:
    • u(t) é a função incógnita que queremos.
    • u'(t) é a derivada de u em relação a t.
    • p(t) e q(t) são as funções que aparecem na equação linear padrão.

Passo 3

Identificar p(t) e q(t) e calcular o fator integrante \mu(t).
  • Aqui temos
p(t)=\tan t,\qquad q(t)=\cos t.
  • Calcular \mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big)=\exp\!\Big(\int \tan t\,dt\Big).
  • Lembrando a integral básica \int \tan t\,dt=\int\frac{\sin t}{\cos t}\,dt=-\ln|\cos t|+C. Então
\mu(t)=\exp\!\big(-\ln|\cos t|\big)=\frac{1}{|\cos t|}.
  • Observação sobre o valor absoluto: no intervalo dado -\pi/2<t<\pi/2 tem-se \cos t>0, portanto |\cos t|=\cos t e podemos escrever
\mu(t)=\frac{1}{\cos t}=\operatorname{sec} t,
válido para todo t do intervalo considerado.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(t) e usar a propriedade que torna o lado esquerdo uma derivada de produto.
  • Multiplicando por \operatorname{sec} t obtemos
\operatorname{sec} t\,u'+\operatorname{sec} t\tan t\,u=\operatorname{sec} t\cos t.
  • Repare que \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sec} t)=\operatorname{sec} t\tan t. Assim o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \operatorname{sec} t\cdot u(t):
\big(\operatorname{sec} t\;u(t)\big)'=\operatorname{sec} t\,u'(t)+\operatorname{sec} t\tan t\,u(t).
  • O lado direito simplifica porque \operatorname{sec} t\cos t=1. Logo a equação multiplicada fica
\big(\operatorname{sec} t\;u(t)\big)'=1.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter uma expressão para u com constante arbitrária.
  • Integrando em relação a t:
\int \big(\operatorname{sec} t\;u(t)\big)'\,dt=\int 1\,dt \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec} t\;u(t)=t+C,
onde C é a constante de integração.
  • Agora isolar u(t). Como \operatorname{sec} t=1/\cos t, tem-se
u(t)=(t+C)\cos t.
Essa é a solução geral da equação diferencial, com C indeterminado.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
  • A condição inicial é u(0)=1. Avaliando a expressão geral em t=0:
u(0)=(0+C)\cos 0 = C\cdot 1 = C.
  • Portanto a condição inicial dá C=1.

Passo 7

Checagem rápida (raciocínio): com C=1 a constante está determinada como acima, o fator integrante foi calculado considerando \cos t>0 no intervalo dado (o que é correto), e a integração foi direta. Logo a constante C encontrada é válida e única para a condição inicial fornecida.

Resposta

u(t)=(t+1)\cos t

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