[4.] Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
\quad \operatorname{sen} u^{\prime}=u

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\sin u' = u
e pede duas classificações:
  • determinar a ordem da equação;
  • dizer se a equação é linear ou não e se é homogênea (no sentido usado para equações diferenciais).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem é a maior derivada da função incógnita que aparece na equação. Exemplos rápidos:
  • Se aparece u'' (segunda derivada) e não aparece derivada de ordem maior, a ordem é 2.
  • Se a maior derivada é u', a ordem é 1.
Na equação dada a maior (e única) derivada que aparece é u'. Portanto a ordem é 1.

Passo 3

O que é uma equação diferencial linear de ordem n?
Uma equação linear de ordem n tem a forma
a_n(x)u^{(n)} + a_{n-1}(x)u^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)u' + a_0(x)u = g(x),
onde as funções a_k(x) e g(x) dependem só da variável independente (por exemplo x) e não dependem de u nem de suas derivadas. A linearidade significa que u e suas derivadas aparecem apenas na 1ª potência e sem serem argumentos de funções não lineares (não dentro de \sin,\cos,\exp, etc.).

Passo 4

Aplicando a definição à equação \sin u' = u:
  • O lado esquerdo contém \sin(u'), ou seja, a derivada u' aparece como argumento da função \sin. Isso é um termo não linear em u'.
  • Não é possível escrever \sin u' como uma combinação do tipo A(x)u' + B(x)u com A,B dependendo só da variável independente.
Logo a equação NÃO é linear, porque envolve uma função não linear de u'.

Passo 5

Observação curta: se aplicarmos \arcsin (quando permitido) obtemos
u' = \arcsin(u),
o que mostra também que a equação é de primeira ordem e tem a forma de uma EDO de primeira ordem com o lado direito dependendo não linearmente de u. Mesmo nessa forma fica claro que não é linear (o termo à direita não é da forma a(x)u+b(x)).

Passo 6

O que significa “homogênea”?
  • Para equações lineares, “homogênea” normalmente significa que o termo não homogêneo é zero, isto é, g(x)=0 na forma linear; uma equação linear homogênea tem todas as parcelas envolvendo u e suas derivadas e não tem um termo independente g(x).
  • No caso da equação dada ela pode ser escrita simbolicamente como
\sin(u') - u = 0,
ou seja, o lado direito é 0. Porém essa escrita NÃO transforma a equação em uma equação linear homogênea — ela continua sendo uma equação não linear. Portanto dizer “homogênea” no sentido de equação linear homogênea não se aplica: não é uma equação linear homogênea.
(Se alguém usar uma definição alternativa de “homogeneidade” para equações não-lineares, isso deve ser especificado; aqui usamos o sentido padrão em cursos de EDO: homogênea = linear homogênea.)

Passo 7

Resumo do que foi concluído nos passos anteriores e comentário final de incentivo: a equação é de primeira ordem e não é linear; por isso a classificação “homogênea” no sentido linear não se aplica. Dá para resolver por separação após escrever u'=\arcsin(u), mas isso é outra etapa — primeiro vem a classificação que o enunciado pediu. Força aí, você já entendeu como decidir isso em provas!

Resposta

Ordem: 1
Linear: não (não é linear)
Homogênea: não (não é uma equação linear homogênea)

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