[4.] Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas classificações:
- determinar a ordem da equação;
- dizer se a equação é linear ou não e se é homogênea (no sentido usado para equações diferenciais).
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem é a maior derivada da função incógnita que aparece na equação. Exemplos rápidos:
A ordem é a maior derivada da função incógnita que aparece na equação. Exemplos rápidos:
- Se aparece
(segunda derivada) e não aparece derivada de ordem maior, a ordem é . - Se a maior derivada é
, a ordem é .
Na equação dada a maior (e única) derivada que aparece é
. Portanto a ordem é
.
Passo 3
O que é uma equação diferencial linear de ordem
?
Uma equação linear de ordem tem a forma
Uma equação linear de ordem
onde as funções
e
dependem só da variável independente (por exemplo
) e não dependem de
nem de suas derivadas. A linearidade significa que
e suas derivadas aparecem apenas na 1ª potência e sem serem argumentos de funções não lineares (não dentro de
etc.).
Passo 4
Aplicando a definição à equação
:
- O lado esquerdo contém
, ou seja, a derivada aparece como argumento da função . Isso é um termo não linear em . - Não é possível escrever
como uma combinação do tipo com dependendo só da variável independente.
Logo a equação NÃO é linear, porque envolve uma função não linear de
.
Passo 5
Observação curta: se aplicarmos
(quando permitido) obtemos
o que mostra também que a equação é de primeira ordem e tem a forma de uma EDO de primeira ordem com o lado direito dependendo não linearmente de
. Mesmo nessa forma fica claro que não é linear (o termo à direita não é da forma
).
Passo 6
O que significa “homogênea”?
- Para equações lineares, “homogênea” normalmente significa que o termo não homogêneo é zero, isto é,
na forma linear; uma equação linear homogênea tem todas as parcelas envolvendo e suas derivadas e não tem um termo independente . - No caso da equação dada ela pode ser escrita simbolicamente como
ou seja, o lado direito é
. Porém essa escrita NÃO transforma a equação em uma equação linear homogênea — ela continua sendo uma equação não linear. Portanto dizer “homogênea” no sentido de equação linear homogênea não se aplica: não é uma equação linear homogênea.
(Se alguém usar uma definição alternativa de “homogeneidade” para equações não-lineares, isso deve ser especificado; aqui usamos o sentido padrão em cursos de EDO: homogênea = linear homogênea.)
Passo 7
Resumo do que foi concluído nos passos anteriores e comentário final de incentivo: a equação é de primeira ordem e não é linear; por isso a classificação “homogênea” no sentido linear não se aplica. Dá para resolver por separação após escrever
, mas isso é outra etapa — primeiro vem a classificação que o enunciado pediu. Força aí, você já entendeu como decidir isso em provas!
Resposta
Ordem:
Linear: não (não é linear)
Homogênea: não (não é uma equação linear homogênea)
Linear: não (não é linear)
Homogênea: não (não é uma equação linear homogênea)