Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais, y^{(4)}+x y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0
onde os a_k(x) dependem apenas de x (podem ser constantes) e não de y nem de suas derivadas; o lado direito g(x) depende só de x.
Aplicando o teste à equação dada: há o termo \operatorname{sen} y. A função \operatorname{sen} y não é uma combinação linear de y (por exemplo, \operatorname{sen}(y_1+y_2)\neq\operatorname{sen} y_1+\operatorname{sen} y_2 em geral), logo a equação não é linear.
Conclusão: a equação é não linear.
Passo 4
Classificação mais refinada (semilinear).
Vou definir um conceito útil: dizemos que uma equação de ordem n é semilinear quando a derivada de maior ordem aparece de forma linear (coeficiente que pode depender de x) e as não linearidades envolvem apenas x e as derivadas de ordem menor de forma compatível. Uma forma comum de semilinear é
onde f pode ser não linear em y mas não envolve y^{(n)} de forma não linear.
Na nossa equação o termo de maior ordem é y^{(4)} com coeficiente 1 (entre parênteses, isto é linear em y^{(4)}). Os termos x\,y^{\prime\prime\prime}, x^{2}y^{\prime\prime} e -x\,y' são lineares em y^{(k)} e têm coeficientes que dependem só de x. A única não linearidade é \operatorname{sen} y, que depende apenas de y (não de derivadas de ordem>0).
Portanto, segundo essa definição, a equação é não linear, mas do tipo semilinear: o termo de maior ordem aparece linearmente e a não linearidade está em \operatorname{sen} y, que depende só de y.
Passo 5
Autonomia e coeficientes constantes.
Definição: uma equação é autônoma se a variável independente x não aparece explicitamente na expressão que define a equação.
Na equação há aparições explícitas de x em x\,y^{\prime\prime\prime}, x^{2}y^{\prime\prime} e -x\,y'. Logo a equação depende explicitamente de x.
Conclusão: a equação é não autônoma.
Sobre coeficientes constantes: os coeficientes das derivadas (1, x, x^{2}, -x) dependem de x, portanto os coeficientes não são constantes — são coeficientes variáveis.
Passo 6
Homogeneidade (no sentido das EDO lineares) e escrita como forma padrão.
No contexto de equações lineares, dizemos que uma EDO é homogênea se o lado direito for zero. Aqui o membro direito é 0, mas a presença de \operatorname{sen} y faz com que não se trate de uma equação linear homogênea: a noção de “homogeneidade” para lineares não se aplica diretamente porque não é linear.
Podemos, contudo, escrever a equação na forma de um operador aplicado a y mais a não linearidade:
\underbrace{\bigl(D^{4}+xD^{3}+x^{2}D^{2}-xD\bigr)y}_{\text{parte linear em }y} + \operatorname{sen} y = 0,
onde D é o operador \dfrac{d}{dx}. Isto mostra claramente a separação entre a parte linear (com coeficientes em x) e a parte não linear \operatorname{sen} y.
Passo 7
Reescrever como sistema de primeira ordem (para análise de existência/únicidade) — método e explicação.
Idéia: qualquer EDO de ordem n pode ser reescrita como um sistema de n equações de primeira ordem, definindo variáveis de estado para y e suas derivadas até ordem n-1. Isso é útil porque teoremas de existência e unicidade (como o teorema de Picard–Lindelöf) são formulados para sistemas de primeira ordem.
Existência e unicidade de soluções (explicação didática).
Teorema usado (forma intuitiva): se temos um sistema u' = F(x,u) e F é contínuo em x e Lipschitz em u numa vizinhança do ponto inicial, então existe uma solução única local passando por um dado estado inicial.
F é contínua em x e u (na verdade é C^\infty em todas as variáveis, pois \operatorname{sen} e polinômios são suaves).
Em qualquer conjunto compacto de u e intervalo compacto de x, a derivada parcial de F em relação a u existe e é limitada, o que garante a propriedade de Lipschitz local em u.
Conclusão: para qualquer ponto x_0 e quaisquer condições iniciais
existe uma solução local única y(x) que satisfaz essas condições. (Isso é uma garantia local; extensão global da solução pode requerer análise adicional.)
Passo 9
Observação sobre linearização aproximada (dica prática para provas).
Em muitas provas ou aplicações, aproxima-se \operatorname{sen} y\approx y quando y é pequeno (pequeno ângulo). Se substituirmos \operatorname{sen} y por y obtemos a equação linear com coeficientes variáveis
que é uma aproximação linearizada (útil para estudar estabilidade local da solução y=0 ou obter comportamento qualitativo). Essa é só uma dica: a equação original continua não linear.
Resposta
Ordem: 4
Linearidade: não linear (contém o termo \operatorname{sen} y); é do tipo semilinear (o termo de maior ordem y^{(4)} aparece linearmente e a não linearidade depende só de y).
Autônoma: não (depende explicitamente de x).
Coeficientes: variáveis (dependem de x, não constantes).
Homogeneidade (em sentido linear): não é uma EDO linear homogênea, embora o membro direito seja 0; a presença de \operatorname{sen} y impede linearidade.
Existência e unicidade: para todo x_0 e qualquer dados iniciais y(x_0),y'(x_0),y''(x_0),y'''(x_0) existe solução local única (o lado direito reescrito como sistema é C^\infty, portanto satisfaz as hipóteses locais de existência e unicidade).