Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
y^{(4)}+x y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y^{(4)}+x\,y^{\prime\prime\prime}+x^{2}\,y^{\prime\prime}-x\,y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0
As perguntas implícitas que vou responder para esta equação são (vou listar explicitamente para não nos perder):
  • Qual é a ordem da equação?
  • A equação é linear ou não linear? Se não for linear, existe alguma classificação mais específica (por exemplo, se é semilinear/quasilinear)?
  • A equação é autônoma (dependente explicitamente de x ou não)?
  • Os coeficientes são constantes ou variáveis?
  • É uma equação homogênea na noção usual de equações lineares?
  • Quais são as garantias de existência e unicidade de solução para um problema de valor inicial associado a esta equação?
Vou agora tratar cada uma dessas perguntas passo a passo.

Passo 2

Ordem da equação.
  • Definição rápida: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
  • Na equação dada a maior derivada é y^{(4)} (quarta derivada), portanto a ordem é
\text{ordem}=4.

Passo 3

Linearidade — definição e teste.
  • Definição simples: uma EDO é linear se a dependência em y e nas suas derivadas for linear, ou seja, se pode ser escrita na forma
a_4(x)\,y^{(4)}+a_3(x)\,y^{(3)}+\cdots+a_0(x)\,y = g(x),
onde os a_k(x) dependem apenas de x (podem ser constantes) e não de y nem de suas derivadas; o lado direito g(x) depende só de x.
  • Aplicando o teste à equação dada: há o termo \operatorname{sen} y. A função \operatorname{sen} y não é uma combinação linear de y (por exemplo, \operatorname{sen}(y_1+y_2)\neq\operatorname{sen} y_1+\operatorname{sen} y_2 em geral), logo a equação não é linear.
  • Conclusão: a equação é não linear.

Passo 4

Classificação mais refinada (semilinear).
  • Vou definir um conceito útil: dizemos que uma equação de ordem n é semilinear quando a derivada de maior ordem aparece de forma linear (coeficiente que pode depender de x) e as não linearidades envolvem apenas x e as derivadas de ordem menor de forma compatível. Uma forma comum de semilinear é
y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(x)y = f(x,y),
onde f pode ser não linear em y mas não envolve y^{(n)} de forma não linear.
  • Na nossa equação o termo de maior ordem é y^{(4)} com coeficiente 1 (entre parênteses, isto é linear em y^{(4)}). Os termos x\,y^{\prime\prime\prime}, x^{2}y^{\prime\prime} e -x\,y' são lineares em y^{(k)} e têm coeficientes que dependem só de x. A única não linearidade é \operatorname{sen} y, que depende apenas de y (não de derivadas de ordem>0).
  • Portanto, segundo essa definição, a equação é não linear, mas do tipo semilinear: o termo de maior ordem aparece linearmente e a não linearidade está em \operatorname{sen} y, que depende só de y.

Passo 5

Autonomia e coeficientes constantes.
  • Definição: uma equação é autônoma se a variável independente x não aparece explicitamente na expressão que define a equação.
  • Na equação há aparições explícitas de x em x\,y^{\prime\prime\prime}, x^{2}y^{\prime\prime} e -x\,y'. Logo a equação depende explicitamente de x.
  • Conclusão: a equação é não autônoma.
  • Sobre coeficientes constantes: os coeficientes das derivadas ( 1, x, x^{2}, -x) dependem de x, portanto os coeficientes não são constantes — são coeficientes variáveis.

Passo 6

Homogeneidade (no sentido das EDO lineares) e escrita como forma padrão.
  • No contexto de equações lineares, dizemos que uma EDO é homogênea se o lado direito for zero. Aqui o membro direito é 0, mas a presença de \operatorname{sen} y faz com que não se trate de uma equação linear homogênea: a noção de “homogeneidade” para lineares não se aplica diretamente porque não é linear.
  • Podemos, contudo, escrever a equação na forma de um operador aplicado a y mais a não linearidade:
\underbrace{\bigl(D^{4}+xD^{3}+x^{2}D^{2}-xD\bigr)y}_{\text{parte linear em }y} + \operatorname{sen} y = 0,
onde D é o operador \dfrac{d}{dx}. Isto mostra claramente a separação entre a parte linear (com coeficientes em x) e a parte não linear \operatorname{sen} y.

Passo 7

Reescrever como sistema de primeira ordem (para análise de existência/únicidade) — método e explicação.
  • Idéia: qualquer EDO de ordem n pode ser reescrita como um sistema de n equações de primeira ordem, definindo variáveis de estado para y e suas derivadas até ordem n-1. Isso é útil porque teoremas de existência e unicidade (como o teorema de Picard–Lindelöf) são formulados para sistemas de primeira ordem.
  • Faço a mudança de variáveis
u_1=y,\qquad u_2=y',\qquad u_3=y'',\qquad u_4=y'''.
Então
u_1' = u_2,\qquad u_2' = u_3,\qquad u_3' = u_4,
e a quarta equação vem da original isolando y^{(4)}:
u_4' = -x\,u_4 - x^{2}\,u_3 + x\,u_2 - \operatorname{sen}(u_1).
  • Assim obtemos o sistema de primeira ordem
\begin{cases} u_1' = u_2,\\[4pt] u_2' = u_3,\\[4pt] u_3' = u_4,\\[4pt] u_4' = -x\,u_4 - x^{2}\,u_3 + x\,u_2 - \operatorname{sen}(u_1). \end{cases}]

Passo 8

Existência e unicidade de soluções (explicação didática).
  • Teorema usado (forma intuitiva): se temos um sistema u' = F(x,u) e F é contínuo em x e Lipschitz em u numa vizinhança do ponto inicial, então existe uma solução única local passando por um dado estado inicial.
  • No nosso sistema a função do lado direito é
F(x,u) = \begin{pmatrix} u_2\\\ u_3\\\ u_4\\\\ -x\,u_4 - x^{2}\,u_3 + x\,u_2 - \operatorname{sen}(u_1) \end{pmatrix}.
  • Observações:
    • F é contínua em x e u (na verdade é C^\infty em todas as variáveis, pois \operatorname{sen} e polinômios são suaves).
    • Em qualquer conjunto compacto de u e intervalo compacto de x, a derivada parcial de F em relação a u existe e é limitada, o que garante a propriedade de Lipschitz local em u.
  • Conclusão: para qualquer ponto x_0 e quaisquer condições iniciais
y(x_0)=y_0,\quad y'(x_0)=y_1,\quad y''(x_0)=y_2,\quad y'''(x_0)=y_3,
existe uma solução local única y(x) que satisfaz essas condições. (Isso é uma garantia local; extensão global da solução pode requerer análise adicional.)

Passo 9

Observação sobre linearização aproximada (dica prática para provas).
  • Em muitas provas ou aplicações, aproxima-se \operatorname{sen} y\approx y quando y é pequeno (pequeno ângulo). Se substituirmos \operatorname{sen} y por y obtemos a equação linear com coeficientes variáveis
y^{(4)}+x\,y^{\prime\prime\prime}+x^{2}\,y^{\prime\prime}-x\,y^{\prime}+y=0,
que é uma aproximação linearizada (útil para estudar estabilidade local da solução y=0 ou obter comportamento qualitativo). Essa é só uma dica: a equação original continua não linear.

Resposta

Ordem: 4
Linearidade: não linear (contém o termo \operatorname{sen} y); é do tipo semilinear (o termo de maior ordem y^{(4)} aparece linearmente e a não linearidade depende só de y).
Autônoma: não (depende explicitamente de x).
Coeficientes: variáveis (dependem de x, não constantes).
Homogeneidade (em sentido linear): não é uma EDO linear homogênea, embora o membro direito seja 0; a presença de \operatorname{sen} y impede linearidade.
Existência e unicidade: para todo x_0 e qualquer dados iniciais y(x_0),y'(x_0),y''(x_0),y'''(x_0) existe solução local única (o lado direito reescrito como sistema é C^\infty, portanto satisfaz as hipóteses locais de existência e unicidade).

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