[4.] Encontre a solução do problema de valor inicial,
u^{\prime}+2 u=4, \quad u(0)=1, \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária com condição inicial. As informações dadas são:
  • A equação diferencial é u^{\prime}+2u=4.
  • A condição inicial é u(0)=1.
  • A solução deve ser encontrada em algum intervalo I\subseteq\mathbb{R} onde ela é definida (para essa equação linear de coeficientes constantes a solução será definida para todo x\in\mathbb{R}).
O que se pede, portanto, é a função u(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial indicada.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma clara e lembrar o que cada termo significa:
  • u=u(x) é a função desconhecida que depende da variável x.
  • u^{\prime} representa a derivada de u em relação a x.
    A equação dada é
u^{\prime}(x)+2\,u(x)=4.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente de u igual a 2 e termo fonte (termo independente) igual a 4.

Passo 3

Apresento dois métodos padrão para resolver esse tipo de equação; ambos são simples. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor) porque é sistemático e serve direto em provas. Depois mostro o método alternativo (homogênea + particular) para reforçar a intuição.
Método do fator integrante: para uma equação na forma \,u^{\prime}+p(x)u=q(x)\,, define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Aqui p(x)=2 (constante), então vou calcular \mu(x).

Passo 4

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2\,dx\Big)=\exp(2x)=e^{2x}.
Explicando: \int 2\,dx = 2x + C, mas ao construir \mu qualquer constante multiplicativa é irrelevante, então escolhe-se \mu(x)=e^{2x}.

Passo 5

Multiplica-se a equação original por \mu(x)=e^{2x}. Fica:
e^{2x}u^{\prime}+2e^{2x}u=4e^{2x}.
A ideia é reconhecer o lado esquerdo como a derivada do produto e^{2x}u. Vamos verificar usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}u(x)\big)=e^{2x}u^{\prime}(x)+\big(e^{2x}\big)^\prime u(x)=e^{2x}u^{\prime}(x)+2e^{2x}u(x).
Portanto a equação fica simplesmente
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}u(x)\big)=4e^{2x}.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}u(x)\big)\,dx=\int 4e^{2x}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{2x}u(x). No lado direito, calculamos a primitiva:
\int 4e^{2x}\,dx = 4\int e^{2x}\,dx = 4\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C = 2e^{2x}+C,
onde C é a constante de integração.
Assim obtemos
e^{2x}u(x)=2e^{2x}+C.

Passo 7

Isolamos u(x) dividindo por e^{2x} (que nunca é zero):
u(x)=2+\;C e^{-2x}.
Aqui C é uma constante arbitrária a ser determinada pela condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial u(0)=1. Substituindo x=0 em \,u(x)=2+Ce^{-2x}\, temos:
u(0)=2+C e^{0}=2+C.
A condição diz que u(0)=1, logo
2+C=1 \quad\Rightarrow\quad C= -1.

Passo 9

Substituindo C=-1 na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
u(x)=2- e^{-2x}.
Vamos fazer uma verificação rápida: calcular u^{\prime}(x) e ver se a equação é satisfeita.
u^{\prime}(x)= -(-2)e^{-2x}? \text{ Atenção: deriva-se } -e^{-2x} \text{ para obter } 2e^{-2x}\text{ com sinal positivo? Vamos calcular com calma.}çã
Derivada de -e^{-2x} é (-)\cdot(-2)e{-2x}=2e{-2x}. Logo
u^{\prime}(x)=2e^{-2x}.
Agora substituindo na equação original:
u^{\prime}+2u = 2e^{-2x}+2(2-e^{-2x})=2e^{-2x}+4-2e^{-2x}=4,
que confere. Também u(0)=2-e^{0}=2-1=1, portanto a solução está correta.)

Passo 10

Comentário didático rápido e dica de prova:
  • Observação rápida: outra forma comum é escrever a solução como soma de solução homogênea e particular. A homogênea satisfaz \,u_h'+2u_h=0\Rightarrow u_h=Ce^{-2x}. Uma particular constante u_p satisfaz 2u_p=4\Rightarrow u_p=2. Logo u=u_h+u_p=Ce^{-2x}+2, o que leva à mesma resposta depois de aplicar a condição inicial.
  • Em provas, reconhecer que existe uma solução estacionária u=2 e que a diferença v=u-2 satisfaz v'+2v=0 simplifica muito: v=Ce^{-2x} e então u=2+Ce^{-2x}.

Resposta

u(x)=2-e^{-2x}

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