[4.] Encontre a solução do problema de valor inicial,
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária com condição inicial. As informações dadas são:
- A equação diferencial é
- A condição inicial é
- A solução deve ser encontrada em algum intervalo
onde ela é definida (para essa equação linear de coeficientes constantes a solução será definida para todo ).
O que se pede, portanto, é a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial indicada.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma clara e lembrar o que cada termo significa:
-
é a função desconhecida que depende da variável . -
representa a derivada de em relação a .
A equação dada é
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente de
igual a
e termo fonte (termo independente) igual a
.
Passo 3
Apresento dois métodos padrão para resolver esse tipo de equação; ambos são simples. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor) porque é sistemático e serve direto em provas. Depois mostro o método alternativo (homogênea + particular) para reforçar a intuição.
Método do fator integrante: para uma equação na forma
, define-se o fator integrante
Aqui
(constante), então vou calcular
.
Passo 4
Calcular o fator integrante:
Explicando:
, mas ao construir
qualquer constante multiplicativa é irrelevante, então escolhe-se
.
Passo 5
Multiplica-se a equação original por
. Fica:
A ideia é reconhecer o lado esquerdo como a derivada do produto
. Vamos verificar usando a regra do produto:
Portanto a equação fica simplesmente
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. No lado direito, calculamos a primitiva:
onde
é a constante de integração.
Assim obtemos
Passo 7
Isolamos
dividindo por
(que nunca é zero):
Aqui
é uma constante arbitrária a ser determinada pela condição inicial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
temos:
A condição diz que
, logo
Passo 9
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Vamos fazer uma verificação rápida: calcular
e ver se a equação é satisfeita.
Derivada de
é (-)\cdot(-2)e{-2x}=2e{-2x}. Logo
Agora substituindo na equação original:
que confere. Também
, portanto a solução está correta.)
Passo 10
Comentário didático rápido e dica de prova:
- Observação rápida: outra forma comum é escrever a solução como soma de solução homogênea e particular. A homogênea satisfaz
. Uma particular constante satisfaz . Logo , o que leva à mesma resposta depois de aplicar a condição inicial. - Em provas, reconhecer que existe uma solução estacionária
e que a diferença satisfaz simplifica muito: e então .