[3, Ex.3, p.270] Seja f(x, y)=x arctan xy. Calcule Du f(1,1), onde u aponta na direção de maior crescimento de f, no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional de no ponto , na direção de maior crescimento de . Isso envolve conceitos de derivadas parciais e gradiente, que ajudam a entender como a função muda de ponto para ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior crescimento de uma função em um ponto é dada pelo vetor gradiente nesse ponto. Então, nosso primeiro passo é encontrar o gradiente de , ou seja, as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de fx = partialpartial x ( x arctan(xy) ) em relação a fx = arctan(xy) + x cdot 11 + (xy)^2 cdot 1y :
fx = arctan(xy) + xy + x^2y = arctan(xy) + x yy^2 + x^2
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = partialpartial y ( x arctan(xy) ) em relação a fy = x cdot 11 + (xy)^2 cdot ( -xy^2 ) = -x^2y^2 + x^2 :
Aqui, é tratado como constante, então:

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente:
nabla f = ( fx, fy ) = ( arctan(xy) + x yy^2 + x^2, -x^2y^2 + x^2 )
Vamos avaliar esse gradiente no ponto nabla f(1,1) = ( arctan(1) + 1 cdot 11 + 1, -11 + 1 ) = ( pi4 + 12, -12 ) :

Passo 6

A derivada direcional na direção de maior crescimento é igual à magnitude do vetor gradiente. Vamos calcular essa magnitude:
| nabla f(1,1) | = raiz( pi4 + 12 )^2 + ( -12 )^2
Simplificando:
| nabla f(1,1) | = raiz( pi4 + 12 )^2 + 14

Resposta

A derivada direcional de Du f(1,1) = raiz( pi4 + 12 )^2 + 14 approx 1,45 no ponto na direção de maior crescimento é:

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