[3, Ex.3, p.270] Seja
. Calcule
, onde
aponta na direção de maior crescimento de
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional de
no ponto
, na direção de maior crescimento de
. Isso envolve conceitos de derivadas parciais e gradiente, que ajudam a entender como a função muda de ponto para ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a direção de maior crescimento de uma função em um ponto é dada pelo vetor gradiente nesse ponto. Então, nosso primeiro passo é encontrar o gradiente de
, ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é tratado como constante, então:
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto
:
Passo 6
A derivada direcional na direção de maior crescimento é igual à magnitude do vetor gradiente. Vamos calcular essa magnitude:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de maior crescimento é: