Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=c1 e^-12+c2 e^2 t.

Passo 1

O enunciado diz que a solução geral é y = c1e^-12t + c2e^2t. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que relaciona as raízes do polinômio aos expoentes da solução.

Passo 2

A partir da forma da solução geral sabemos que as raízes do polinômio característico são r1 = -12 e r2 = 2, pois cada termo da solução é e^r t.

Passo 3

O polinômio característico cuja raízes são r1=-12 e r2=2 é dado por (r - r1)(r - r2) = (r + 12)(r - 2). Expandindo, obtemos:
(r + 12)(r - 2) = r^2 + 10r - 24,
e esse será o polinômio associado à equação diferencial.

Passo 4

A forma geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes é
r^2 + 10r - 24 = 0 long<=ftrightarrow y'' + 10y' - 24y = 0

Resposta

A equação diferencial buscada é y'' + 10y' - 24y = 0.

Exercícios relacionados