Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Passo 1
O enunciado diz que a solução geral é
. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que relaciona as raízes do polinômio aos expoentes da solução.
Passo 2
A partir da forma da solução geral sabemos que as raízes do polinômio característico são
e
, pois cada termo da solução é
.
Passo 3
O polinômio característico cuja raízes são
e
é dado por
. Expandindo, obtemos:
e esse será o polinômio associado à equação diferencial.
Passo 4
A forma geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes é
Resposta
A equação diferencial buscada é
.