[3, Ex.8, p.270] Seja f(x, y)=x y. Mostre que r(t)=(t, raizt^2+3), t >= 1, descreve a trajetória de um ponto P que se desloca, a partir do ponto ( 1,2 ), sempre na direção e sentido de maior crescimento de f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a curva r(t) = (t, raizt^2+3), t>=1, partindo de (1,2), se move sempre na direção de maior crescimento de f(x,y)=xy. Isso é um problema de fluxo de gradiente: precisamos verificar que o vetor velocidade r'(t) é paralelo ao gradiente de f em r(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f. Lembrando que o gradiente aponta sempre na direção de maior crescimento de uma função, temos:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)=(y,,x)

Passo 3

Agora, avaliamos o gradiente ao longo da curva r(t). Substituindo x=t e y=raizt^2+3,
nabla fl(r(t)r)=l(raizt^2+3,,tr)

Passo 4

Em seguida, encontramos o vetor velocidade r'(t). Derivando cada componente de r(t), obtemos:
r'(t)=l(1,,ddtraizt^2+3r)=l(1,,traizt^2+3r)

Passo 5

Para concluir, basta ver que nabla fl(r(t)r) é múltiplo escalar de r'(t). De fato,
raizt^2+3;r'(t)=l(raizt^2+3,,tr)=nabla fl(r(t)r)
Isso mostra que r'(t) e nabla f(r(t)) têm a mesma direção e sentido, ou seja, o ponto se move sempre na direção de maior crescimento de f.

Passo 6

Finalmente, verificamos a condição inicial:
r(1)=l(1,raiz1+3r)=(1,2),
que bate com o que foi dado no enunciado.

Resposta

Mostramos que r'(t) e nabla fl(r(t)r) são paralelos por nabla f(r(t))=raizt^2+3;r'(t) e que r(1)=(1,2), logo a curva descrita é exatamente a trajetória de gradiente de f.

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