[3, Ex.8, p.270] Seja
. Mostre que
, descreve a trajetória de um ponto
que se desloca, a partir do ponto ( 1,2 ), sempre na direção e sentido de maior crescimento de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a curva
,
, partindo de
, se move sempre na direção de maior crescimento de
. Isso é um problema de fluxo de gradiente: precisamos verificar que o vetor velocidade
é paralelo ao gradiente de
em
.
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de
. Lembrando que o gradiente aponta sempre na direção de maior crescimento de uma função, temos:
Passo 3
Agora, avaliamos o gradiente ao longo da curva
. Substituindo
e
,
Passo 4
Em seguida, encontramos o vetor velocidade
. Derivando cada componente de
, obtemos:
Passo 5
Para concluir, basta ver que
é múltiplo escalar de
. De fato,
Isso mostra que
Passo 6
Finalmente, verificamos a condição inicial:
que bate com o que foi dado no enunciado.
Resposta
Mostramos que
e
são paralelos por
e que
, logo a curva descrita é exatamente a trajetória de gradiente de
.