Use a razão an+1 / an para mostrar que a sequência an dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
10. 10^n(2 n)!n=1^+infty

Passo 1

A sequência dada é an=10^n(2n)! para n>=1. O conteúdo é monotonicidade de sequência usando a razão an+1/an, e vamos usar a definição: se an+1/an>1 é crescente; se <1 é decrescente.

Passo 2

Vamos escrever an+1/an diretamente:
an+1an =10^n+1/(2(n+1))!10^n/(2n)!

Passo 3

Note que (2(n+1))!=(2n+2)!= (2n+2)(2n+1)(2n)!. Substituindo,
an+1an =10cdot(2n)!(2n+2)(2n+1)(2n)! =10(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Para n>=1, temos (2n+2)(2n+1)>=12, logo 10(2n+2)(2n+1)<1. Assim a razão é sempre menor que 1.

Passo 5

Como an+1/an<1 para todo n>=1, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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