Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
c) f(x, y)=e^x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = e{x{2} y} $. Isso faz parte de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivação de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a $ x $, que chamaremos de $ f_x $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e diferenciamos $ e{x{2} y} $ em relação a $ x $.
Usamos a regra da cadeia: se $ f(g(x)) $, então $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Então,
x
Ou seja,
fx

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ f_{xx} $. Diferenciamos $ f_x = 2x y e{x{2} y} $ em relação a $ x $.
Aplicamos novamente a regra do produto e a regra da cadeia:
x
Simplificando,
fxx

Passo 4

Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial em relação a $ y $, que é $ f_y $. Tratamos $ x $ como constante e diferenciamos $ e{x{2} y} $ em relação a $ y $.
Usamos a regra da cadeia novamente:
y
Ou seja,
fy

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista $ f_{xy} $. Isso significa que vamos derivar $ f_x = 2x y e{x{2} y} $ em relação a $ y $.
Diferenciando em relação a $ y $:
fxy
Simplificando,
fx = 2x y e^x^2 y

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ f_{yy} $. Diferenciamos $ f_y = x^{2} e{x{2} y} $ em relação a $ y $.
Usando a regra da cadeia:
y

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = e{x{2} y} $ são:
f(x, y) = e^x^2 y
fxx = 2y e^x^2 y (1 + 2x^2 y )
fxy = fyx = 2x e^x^2 y (1 + x^2 y )

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