[3, pag 48-2)] Para um subgrupo de H de G definimos uma classe lateral à esquerda de H em G como o conjunto de todos os elementos da forma a h, h in H. Mostre que existe uma correspondência bijetora entre o conjunto das classes laterais à esquerda de H em G e o conjunto das classes laterais à direita de H em G.

Passo 1

O enunciado define, para um subgrupo H<= G, as classes laterais à esquerda de H em G como os conjuntos da forma
aH = a,h mid hin H
e as classes laterais à direita como
Ha = h,a mid hin H
Queremos mostrar que existe uma bijeção entre o conjunto de todas as classes laterais à esquerda e o conjunto de todas as classes laterais à direita. Para isso, vamos construir um mapeamento explícito e verificar que ele é bem-definido, injetivo e sobrejetivo.

Passo 2

Definimos a função
phicolon ,aH : ain G;longrightarrow;,Ha : ain G
por
phi(aH) ;=; H,a^-1
Ou seja, à classe lateral à esquerda aH associamos a classe lateral à direita Ha^-1.

Passo 3

Verificamos que phi é bem-definida. Suponha aH = bH. Então existe hin H tal que b = a,h. Tomando inverso,
b^-1 = h^-1a^-1, h^-1in H,
logo
H,b^-1 = H,(h^-1a^-1) = H,a^-1
Isso mostra que phi(aH)=H,a^-1 = H,b^-1=phi(bH), ou seja, phi não depende da escolha de representante.

Passo 4

Mostramos que phi é injetiva. Suponha phi(aH)=phi(bH), isto é,
H,a^-1 = H,b^-1
Então b^-1in H,a^-1, ou seja, existe hin H com b^-1=h,a^-1. Passando inverso em ambos os lados,
b = a,h^-1, h^-1in H,
e daí
bH = a,h^-1H = aH
Logo aH=bH, o que prova injetividade de phi.

Passo 5

Mostramos que phi é sobrejetiva. Dada uma classe lateral à direita qualquer H,a, basta escolher o representante inverso na esquerda:
phil(a^-1Hr) = H,l(a^-1r)^-1 = H,a
Assim toda classe H,a é imagem de a^-1H.

Resposta

A aplicação phicolon aH mapsto H,a^-1 é uma bijeção entre o conjunto de classes laterais à esquerda de H em G e o conjunto de classes laterais à direita de H em G.

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