[3, pag 48-2)] Para um subgrupo de
de
definimos uma classe lateral à esquerda de
em
como o conjunto de todos os elementos da forma
. Mostre que existe uma correspondência bijetora entre o conjunto das classes laterais à esquerda de
em
e o conjunto das classes laterais à direita de
em
.
Passo 1
O enunciado define, para um subgrupo
, as classes laterais à esquerda de
em
como os conjuntos da forma
e as classes laterais à direita como
Queremos mostrar que existe uma bijeção entre o conjunto de todas as classes laterais à esquerda e o conjunto de todas as classes laterais à direita. Para isso, vamos construir um mapeamento explícito e verificar que ele é bem-definido, injetivo e sobrejetivo.
Passo 2
Definimos a função
por
Ou seja, à classe lateral à esquerda
associamos a classe lateral à direita
.
Passo 3
Verificamos que
é bem-definida. Suponha
. Então existe
tal que
. Tomando inverso,
logo
Isso mostra que
, ou seja,
não depende da escolha de representante.
Passo 4
Mostramos que
é injetiva. Suponha
, isto é,
Então
, ou seja, existe
com
. Passando inverso em ambos os lados,
e daí
Logo
, o que prova injetividade de
.
Passo 5
Mostramos que
é sobrejetiva. Dada uma classe lateral à direita qualquer
, basta escolher o representante inverso na esquerda:
Assim toda classe
é imagem de
.
Resposta
A aplicação
é uma bijeção entre o conjunto de classes laterais à esquerda de
em
e o conjunto de classes laterais à direita de
em
.