[3,0 pontos] 03. Uma partícula está representada (no instante t=0 ) pela função de onda \Psi(x, 0)=A\left(a^{2}-x^{2}\right), se -a \leq x \leq a, e \Psi(x, 0)=0 caso contrário.
(a) Determine o valor de A.
(b) Qual é a probabilidade de a partícula ser encontrada à esquerda de -a / 2 ?
(c) Determine o valor médio de x.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda inicial \Psi(x,0)=A\,(a^{2}-x^{2}) para -a\le x\le a (e zero fora desse intervalo) e pede:
  1. O valor da constante de normalização A.
  2. A probabilidade de encontrar a partícula à esquerda de -a/2.
  3. O valor médio de x.
    Para isso vamos usar:
    – Condição de normalização:
\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx = 1
– Probabilidade em um intervalo [x_{1},x_{2}]:
P = \int_{x_{1}}^{x_{2}}|\Psi(x,0)|^{2}\,dx
– Valor médio de x:
\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x\,|\Psi(x,0)|^{2}\,dx

Passo 2

Aplicando a normalização em [-a,a]:
1 = \int_{-a}^{a} |A|^{2}\,(a^{2}-x^{2})^{2}\,dx = A^{2}\int_{-a}^{a}(a^{2}-x^{2})^{2}\,dx.
Expandindo o integrando:
(a^{2}-x^{2})^{2} = a^{4} - 2a^{2}x^{2} + x^{4},
\int_{-a}^{a}(a^{4}-2a^{2}x^{2}+x^{4})\,dx = 2\Bigl[a^{4}x - \tfrac{2a^{2}x^{3}}{3} + \tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{a} = \tfrac{16\,a^{5}}{15}.
Logo
A^{2}\,\frac{16\,a^{5}}{15} = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \sqrt{\frac{15}{16\,a^{5}}}.

Passo 3

Queremos
P\Bigl(x\le -\tfrac{a}{2}\Bigr) = \int_{-a}^{-a/2}|\Psi|^{2}\,dx = A^{2}\int_{-a}^{-a/2}(a^{2}-x^{2})^{2}\,dx.
Como (a^{2}-x^{2})^{2} é função par, esse integral é igual a
\int_{a/2}^{a}(a^{2}-x^{2})^{2}\,dx.
Calculando
\int_{a/2}^{a}(a^{4}-2a^{2}x^{2}+x^{4})\,dx = \Bigl[a^{4}x-\tfrac{2a^{2}x^{3}}{3}+\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{a/2}^{a} = \frac{53\,a^{5}}{480}.
Multiplicando por A^{2}=15/(16a^{5}), obtemos
P\Bigl(x\le -\tfrac{a}{2}\Bigr) = \frac{15}{16\,a^{5}}\;\frac{53\,a^{5}}{480} = \frac{53}{512}.

Passo 4

O valor médio de x é
\langle x\rangle = \int_{-a}^{a} x\,|\Psi(x,0)|^{2}\,dx.
Como x\,(a^{2}-x^{2})^{2} é função ímpar integrada num intervalo simétrico, temos
\langle x\rangle = 0.

Resposta

(a) \displaystyle A = \sqrt{\frac{15}{16\,a^{5}}}.
(b) \displaystyle P\Bigl(x\le -\tfrac{a}{2}\Bigr) = \frac{53}{512}.
(c) \displaystyle \langle x\rangle = 0.

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