• Questão 2: (2,5 pontos) Utilize as coordenadas polares para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide x^{2}+y^{2}+z-16=0 e acima da região anelar delimitada por \quad x^{2}+y^{2}=9 \quad & x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido situado abaixo do paraboloide
x^{2}+y^{2}+z-16=0
e acima da região anelar no plano xy delimitada por
x^{2}+y^{2}=4 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=9.
O que vamos usar é a mudança para coordenadas polares, onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o elemento de área vale dA=r\,dr\,d\theta, e o paraboloide fica z=16-r^{2}.

Passo 2

Em coordenadas polares, a região anelar R é dada por
2 \le r \le 3, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.
O volume sob o gráfico z=16-r^{2} sobre R é
V=\iint_{R}z\,dA.

Passo 3

Substituindo z e dA em coordenadas polares, temos
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{2}^{3}(16-r^{2})\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em r:
\int_{2}^{3}(16r - r^{3})\,dr = \Bigl[8r^{2}-\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{2}^{3} = \bigl(8\cdot9-\tfrac{81}{4}\bigr) - \bigl(8\cdot4-\tfrac{16}{4}\bigr) = \tfrac{95}{4}.

Passo 5

Agora integremos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}\frac{95}{4}\,d\theta = \frac{95}{4}\,\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{95}{4}\cdot2\pi = \frac{95\pi}{2}.

Resposta

V=\frac{95\pi}{2}.

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