Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=4 x\right\} com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = 4x\}
e pergunta se ele é um espaço vetorial com as operações usuais de \mathbb{R}^2. Para isso, basta mostrar que A é um subespaço de \mathbb{R}^2:
  1. A não é vazio (contém o vetor zero).
  2. A é fechado em soma.
  3. A é fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que (0,0)\in A pois
0 = 4\cdot 0.
Sejam (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in A, isto é y_1=4x_1 e y_2=4x_2. Então
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2) = (x_1+x_2,\;4x_1+4x_2) = (x_1+x_2,\;4(x_1+x_2)),
logo a soma está em A.

Passo 3

Seja (x,y)\in A com y=4x e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,(x,y) = (\alpha x,\;\alpha y) = (\alpha x,\;\alpha\cdot4x) = (\alpha x,\;4(\alpha x)),
portanto \alpha(x,y)\in A.

Resposta

O conjunto A é um subespaço de \mathbb{R}^2 e, portanto, é um espaço vetorial com as operações usuais.

Exercícios relacionados