O eletrodo negativo de uma pilha tem uma densidade de corrente de oxidação dada por: \mathrm{j}_{\mathrm{ox}}=10^{-7} \cdot \exp (38,93 . \eta) \mathrm{A} / \mathrm{cm}^{2}, quando a sobretensão é superior a 0,2 \mathrm{~V} . \mathrm{O} eletrodo positivo tem uma densidade de corrente de redução cujo módulo é dado por: \mathrm{j}_{\text {red }}=10^{-} { }^{9} . \exp (-38,93 . \eta) \mathrm{A} / \mathrm{cm}^{2}, quando a sobretensão é inferior a -0,2 \mathrm{~V}. Estimar a sobretensão anódica e catódica quando a pilha opera com uma densidade de corrente de 10 \mathrm{~A} / \mathrm{cm}^{2} no

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede estimar a sobretensão anódica e a sobretensão catódica quando a pilha opera com densidade de corrente de 10\\ \mathrm{A/cm^2}.
  • Informações fornecidas (já em A/cm ^2 e V):
    • Densidade de corrente de oxidação do eletrodo negativo: j_{\mathrm{ox}} = 10^{-7}\,\exp\!\big(38{,}93\;\eta\big) \quad\text{válida para }\eta>0{,}2\\ \mathrm{V}.á
    • Módulo da densidade de corrente de redução do eletrodo positivo: j_{\mathrm{red}} = 10^{-9}\,\exp\!\big(-38{,}93\;\eta\big) \quad\text{válida para }\eta< -0{,}2\\ \mathrm{V}.á
    • Corrente de operação desejada: j = 10\\ \mathrm{A/cm^2}.
  • Interpretação prática: para cada eletrodo igualamos a densidade de corrente de operação ao modelo dado para esse eletrodo e resolvemos para a sobretensão \eta (no anodo \eta>0, no catodo \eta<0).

Passo 2

Breve aula sobre o que vamos usar (sem jargões complicados).
  • Sobretensão ( \eta) é a diferença entre o potencial real do eletrodo em operação e o seu potencial de equilíbrio. Quando a reação precisa “forçar” uma corrente grande, \eta aumenta.
  • As expressões dadas são do tipo exponencial (forma de Tafel/Butler–Volmer aproximada): corrente cresce exponencialmente com \eta para oxidação e com -\eta para redução. Para resolver, isolamos \eta e aplicamos logaritmo natural.
  • Regra útil: se \;j = A\,\exp(B\eta)\; então \eta = \frac{\ln\!\left(\dfrac{j}{A}\right)}{B}.Aqui \ln é log natural. Todas as variáveis/constantes estão em notação física usual: j em A/cm ^2, A em A/cm ^2, B em V ^{-1}.

Passo 3

Calcular a sobretensão anódica ( \eta_{\text{an}}) usando a expressão de oxidação.
  • Igualamos a corrente de operação à expressão de oxidação: 10 = 10^{-7}\,\exp\!\big(38{,}93\,\eta_{\text{an}}\big).
  • Isolando a exponencial: \exp\!\big(38{,}93\,\eta_{\text{an}}\big)=\frac{10}{10^{-7}}=10^{8}.
  • Aplicando log natural e isolando \eta_{\text{an}}: 38{,}93\,\eta_{\text{an}}=\ln(10^{8})=8\ln(10).
\eta_{\text{an}}=\frac{8\ln(10)}{38{,}93}.

Passo 4

Avaliar numericamente \eta_{\text{an}} mostrando as contas.
  • Primeiro calcule \ln(10). Saber memorizar: \ln(10)\approx 2{,}302585.
  • Então 8\ln(10)\approx 8\times2{,}302585=18{,}420680.
  • Agora dividir por 38{,}93: \eta_{\text{an}} \approx \frac{18{,}420680}{38{,}93}\approx 0{,}473\\ \mathrm{V}.
  • Verificação rápida da condição de validade: \eta_{\text{an}}\approx 0{,}473\\ \mathrm{V} > 0{,}2\\ \mathrm{V}, logo a fórmula é aplicável. Bom sinal.

Passo 5

Calcular a sobretensão catódica ( \eta_{\text{cat}}) usando a expressão de redução.
  • Igualamos a corrente de operação (módulo) à expressão de redução: 10 = 10^{-9}\,\exp\!\big(-38{,}93\,\eta_{\text{cat}}\big).
  • Isolando a exponencial: \exp\!\big(-38{,}93\,\eta_{\text{cat}}\big)=\frac{10}{10^{-9}}=10^{10}.
  • Aplicando log natural e isolando \eta_{\text{cat}}: -38{,}93\,\eta_{\text{cat}}=\ln(10^{10})=10\ln(10),
\eta_{\text{cat}} = -\frac{10\ln(10)}{38{,}93}.

Passo 6

Avaliar numericamente \eta_{\text{cat}} mostrando as contas.
  • Calcule 10\ln(10)\approx 10\times2{,}302585=23{,}025850.
  • Dividindo por 38{,}93 e aplicando o sinal negativo: \eta_{\text{cat}} \approx -\frac{23{,}025850}{38{,}93}\approx -0{,}591\\ \mathrm{V}.
  • Verificação da condição de validade: \eta_{\text{cat}}\approx -0{,}591\\ \mathrm{V} < -0{,}2\\ \mathrm{V}, logo a fórmula é aplicável.

Passo 7

Resumo físico e dica de prova.
  • Resultado intuitivo: para uma corrente altíssima ( 10\\ \mathrm{A/cm^2}) as sobretensões precisam ser grandes (ordem décimos de volt) para gerar as densidades de corrente exponenciais dadas.
  • Dica prática para prova: isolar a exponencial, tomar ln, e sempre checar se a \eta encontrada está dentro do intervalo em que a fórmula vale (aqui \eta>0{,}2 para o anodo e \eta<-0{,}2 para o catodo). Isso evita respostas inválidas.

Resposta

\eta_{\text{an}} \approx 0,473\\ \mathrm{V}
\eta_{\text{cat}} \approx -0,591\\ \mathrm{V}

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