[3] ( 3,0 pontos) Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas y^{2}=10 x+4 \mathrm{e} y^{2}= -2 x+9. Use integrais múltiplas.
[4] \left(3,(1)\right. pontos) Calcule a integral \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} \int_{0}^{x y} x y z d z d y d x.

Passo 1

Vou listar com clareza o que cada enunciado pede e quais informações são dadas.
  • Questão [3]: pede calcular a área da região do plano delimitada pelas parábolas y^{2}=10x+4 e y^{2}=-2x+9. Informação dada: as duas curvas estão escritas em forma envolvendo y^{2} e x.
  • Questão [4]: pede calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\int_{0}^{xy} x\,y\,z \,dz\,dy\,dx.
O domínio de integração está descrito por 0\le x\le1, x^{2}\le y\le\sqrt{x} e 0\le z\le x y.
Agora começo a resolver passo a passo, explicando cada fórmula e operação.

Passo 2

(Questão [3]) Estratégia e ideia básica: a área de uma região R do plano pode ser escrita como integral dupla
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA.Á
Para integrar convenientemente, é preciso descrever R por limites simples. As curvas dadas estão em forma y^{2}= expressão em x; é mais simples resolver cada uma para x como função de y, assim a região pode ser descrita por limites em y e, para cada y, x vai de uma curva à outra. Vou então reescrever as equações isolando x.

Passo 3

Isolando x em cada equação:
y^{2}=10x+4 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y^{2}-4}{10}.
y^{2}=-2x+9 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{9-y^{2}}{2}.
Portanto, para um mesmo valor de y, a abscissa dada pela primeira curva é x_{\text{esq}}=\dfrac{y^{2}-4}{10} (essa é a curva mais à esquerda, pois para y=0 x=-0{,}4) e pela segunda é x_{\text{dir}}=\dfrac{9-y^{2}}{2} (para y=0 x=4{,}5), então faz sentido integrar x de x_{\text{esq}} até x_{\text{dir}}.

Passo 4

Determinar os limites em y: são os pontos de interseção das duas curvas. Igualando as expressões de x:
\frac{y^{2}-4}{10}=\frac{9-y^{2}}{2}.
Resolvo essa equação passo a passo:
y^{2}-4 = 5(9-y^{2}) \quad\text{(multiplicando ambos os lados por }10),
y^{2}-4 = 45 -5y^{2},
y^{2}+5y^{2} = 45+4,
6y^{2}=49,
y^{2}=\frac{49}{6},
y=\pm\frac{7}{\sqrt{6}}.
Então y varia entre -\dfrac{7}{\sqrt{6}} e +\dfrac{7}{\sqrt{6}}.

Passo 5

Montando a integral dupla para a área, com integração em x primeiro (para cada y entre as interseções):
\text{Área}=\int_{y=-\frac{7}{\sqrt{6}}}^{\frac{7}{\sqrt{6}}}\left[\;x_{\text{dir}}-x_{\text{esq}}\;\right]dy =\int_{-\frac{7}{\sqrt{6}}}^{\frac{7}{\sqrt{6}}}\left(\frac{9-y^{2}}{2}-\frac{y^{2}-4}{10}\right)dy.Á

Passo 6

Simplifico o integrando passo a passo:
\frac{9-y^{2}}{2}-\frac{y^{2}-4}{10} =\frac{5(9-y^{2})-(y^{2}-4)}{10} =\frac{45-5y^{2}-y^{2}+4}{10} =\frac{49-6y^{2}}{10}.
A função integranda é par (depende de y^{2}), então posso usar a simetria:
\text{Área}=2\int_{0}^{\frac{7}{\sqrt{6}}}\frac{49-6y^{2}}{10}\,dy =\frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{7}{\sqrt{6}}}(49-6y^{2})\,dy.Á

Passo 7

Calculo a integral:
\int_{0}^{\frac{7}{\sqrt{6}}}(49-6y^{2})\,dy =\Big[49y-6\cdot\frac{y^{3}}{3}\Big]_{0}^{\frac{7}{\sqrt{6}}} =\Big[49y-2y^{3}\Big]_{0}^{\frac{7}{\sqrt{6}}}.
Agora substituo y=\dfrac{7}{\sqrt{6}}:
49\cdot\frac{7}{\sqrt{6}}-2\left(\frac{7}{\sqrt{6}}\right)^{3} =\frac{343}{\sqrt{6}}-2\cdot\frac{343}{6\sqrt{6}} =\frac{343}{\sqrt{6}}\Big(1-\frac{2}{6}\Big) =\frac{343}{\sqrt{6}}\cdot\frac{2}{3} =\frac{686}{3\sqrt{6}}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{5} que tínhamos:
\text{Área}=\frac{1}{5}\cdot\frac{686}{3\sqrt{6}}=\frac{686}{15\sqrt{6}}.Á
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{6}):
\text{Área}=\frac{686\sqrt{6}}{15\cdot 6}=\frac{686\sqrt{6}}{90}=\frac{343\sqrt{6}}{45}.Á

Passo 8

(Questão [4]) Agora a integral tripla. Primeiro, explico a regra usada: quando se tem integrais iteradas do tipo \int\!\int\!\int f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx e os limites já estão dados nesta ordem, procede-se calculando a integral interna em z, depois a integral em y e por fim em x. Vou realizar a integração interna detalhadamente e explicar cada passo.

Passo 9

Integral interna em z:
\int_{0}^{xy} x\,y\,z\,dz.
Aqui x e y são constantes em relação a z, então x\,y pode ser tirado da integral:
x\,y\int_{0}^{xy} z\,dz = x\,y\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{xy} = x\,y\cdot\frac{(xy)^{2}}{2} = \frac{x^{3}y^{3}}{2}.

Passo 10

Agora integro o resultado em y com limites y=x^{2} até y=\sqrt{x}:
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\frac{x^{3}y^{3}}{2}\,dy = \frac{x^{3}}{2}\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{x^{2}}^{\sqrt{x}} = \frac{x^{3}}{8}\Big(y^{4}\Big|_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}\Big).
Calculo y^{4} nos limites:
(\sqrt{x})^{4}=x^{2},\qquad (x^{2})^{4}=x^{8}.
Portanto
\frac{x^{3}}{8}\big(x^{2}-x^{8}\big)=\frac{x^{5}}{8}\big(1-x^{6}\big).

Passo 11

Finalmente integro em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{x^{5}}{8}\big(1-x^{6}\big)\,dx =\frac{1}{8}\left(\int_{0}^{1}x^{5}\,dx-\int_{0}^{1}x^{11}\,dx\right).
Calculo as primitivas:
\int_{0}^{1}x^{5}\,dx=\left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6},\qquad \int_{0}^{1}x^{11}\,dx=\left[\frac{x^{12}}{12}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{12}.
Substituindo:
\frac{1}{8}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{96}.

Passo 12

Resumo final dos resultados obtidos.

Resposta

(3) \displaystyle \text{Área}=\frac{343\sqrt{6}}{45}Á
(4) \displaystyle \frac{1}{96}

Exercícios relacionados