[3] ( 3,0 pontos) Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas y^{2}=10 x+4 \mathrm{e} y^{2}= -2 x+9. Use integrais múltiplas.
[4] \left(3,(1)\right. pontos) Calcule a integral \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} \int_{0}^{x y} x y z d z d y d x.
Passo 1
Vou listar com clareza o que cada enunciado pede e quais informações são dadas.
Questão [3]: pede calcular a área da região do plano delimitada pelas parábolas y^{2}=10x+4 e y^{2}=-2x+9. Informação dada: as duas curvas estão escritas em forma envolvendo y^{2} e x.
O domínio de integração está descrito por 0\le x\le1, x^{2}\le y\le\sqrt{x} e 0\le z\le x y.
Agora começo a resolver passo a passo, explicando cada fórmula e operação.
Passo 2
(Questão [3]) Estratégia e ideia básica: a área de uma região R do plano pode ser escrita como integral dupla
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA.
Para integrar convenientemente, é preciso descrever R por limites simples. As curvas dadas estão em forma y^{2}= expressão em x; é mais simples resolver cada uma para x como função de y, assim a região pode ser descrita por limites em y e, para cada y, x vai de uma curva à outra. Vou então reescrever as equações isolando x.
Portanto, para um mesmo valor de y, a abscissa dada pela primeira curva é x_{\text{esq}}=\dfrac{y^{2}-4}{10} (essa é a curva mais à esquerda, pois para y=0 dá x=-0{,}4) e pela segunda é x_{\text{dir}}=\dfrac{9-y^{2}}{2} (para y=0 dá x=4{,}5), então faz sentido integrar x de x_{\text{esq}} até x_{\text{dir}}.
Passo 4
Determinar os limites em y: são os pontos de interseção das duas curvas. Igualando as expressões de x:
\frac{y^{2}-4}{10}=\frac{9-y^{2}}{2}.
Resolvo essa equação passo a passo:
y^{2}-4 = 5(9-y^{2}) \quad\text{(multiplicando ambos os lados por }10),
y^{2}-4 = 45 -5y^{2},
y^{2}+5y^{2} = 45+4,
6y^{2}=49,
y^{2}=\frac{49}{6},
y=\pm\frac{7}{\sqrt{6}}.
Então y varia entre -\dfrac{7}{\sqrt{6}} e +\dfrac{7}{\sqrt{6}}.
Passo 5
Montando a integral dupla para a área, com integração em x primeiro (para cada y entre as interseções):
(Questão [4]) Agora a integral tripla. Primeiro, explico a regra usada: quando se tem integrais iteradas do tipo \int\!\int\!\int f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx e os limites já estão dados nesta ordem, procede-se calculando a integral interna em z, depois a integral em y e por fim em x. Vou realizar a integração interna detalhadamente e explicar cada passo.
Passo 9
Integral interna em z:
\int_{0}^{xy} x\,y\,z\,dz.
Aqui x e y são constantes em relação a z, então x\,y pode ser tirado da integral: