Encontre uma equação diferencial cuja soluçāo geral é
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão da solução geral
onde
e
são constantes arbitrárias. A tarefa é encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja exatamente essa.
Passo 2
Observação importante (motivação para o método): a presença de duas constantes arbitrárias
e
indica que a equação diferencial procurada deve ser de segunda ordem (uma solução geral de ordem
tem
constantes). Além disso, a solução é uma combinação linear de exponenciais
e
, o que sugere procurar uma equação linear homogênea com coeficientes constantes da forma
onde
e
são constantes a determinar. Vou explicar por que essa é uma boa escolha: para essa classe de EDOs, tentar uma solução do tipo
leva a uma relação algébrica para
(a equação característica), e as soluções exponenciais aparecem quando
é real.
Passo 3
Derivação da equação característica: suponha
. Então
Substituindo em
e dividindo por
(não-nulo) obtemos a equação algébrica
que é chamada equação característica. As raízes
dessa equação são os expoentes das exponenciais que formam a solução geral.
Passo 4
Identificar as raízes conhecidas: pela solução dada, os expoentes são
e
. Logo a equação característica tem essas duas raízes, portanto
Expandindo,
Comparando com
obtemos
e
. Assim a equação diferencial procurada é
Passo 5
Verificação direta (confirmação): calcule as derivadas da solução dada
Substituindo em
:
Agrupando termos em
e
:
Logo a solução satisfaz a equação encontrada, como esperado.