Encontre uma equação diferencial cuja soluçāo geral é y=c_{1} e^{2 y}+c_{2} e^{-3 t}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão da solução geral
y = c_{1} e^{2t} + c_{2} e^{-3t},
onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias. A tarefa é encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja exatamente essa.

Passo 2

Observação importante (motivação para o método): a presença de duas constantes arbitrárias c_{1} e c_{2} indica que a equação diferencial procurada deve ser de segunda ordem (uma solução geral de ordem n tem n constantes). Além disso, a solução é uma combinação linear de exponenciais e^{2t} e e^{-3t}, o que sugere procurar uma equação linear homogênea com coeficientes constantes da forma
y'' + a\,y' + b\,y = 0,
onde a e b são constantes a determinar. Vou explicar por que essa é uma boa escolha: para essa classe de EDOs, tentar uma solução do tipo y=e^{rt} leva a uma relação algébrica para r (a equação característica), e as soluções exponenciais aparecem quando r é real.

Passo 3

Derivação da equação característica: suponha y=e^{rt}. Então
y' = r e^{rt},\qquad y'' = r^{2} e^{rt}.
Substituindo em \,y'' + a\,y' + b\,y = 0 e dividindo por e^{rt} (não-nulo) obtemos a equação algébrica
r^{2} + a r + b = 0,
que é chamada equação característica. As raízes r dessa equação são os expoentes das exponenciais que formam a solução geral.

Passo 4

Identificar as raízes conhecidas: pela solução dada, os expoentes são r_{1}=2 e r_{2}=-3. Logo a equação característica tem essas duas raízes, portanto
(r - r_{1})(r - r_{2}) = (r-2)(r+3) = 0.
Expandindo,
(r-2)(r+3) = r^{2} + r - 6.
Comparando com r^{2} + a r + b obtemos a = 1 e b = -6. Assim a equação diferencial procurada é
y'' + y' - 6y = 0.

Passo 5

Verificação direta (confirmação): calcule as derivadas da solução dada
y = c_{1} e^{2t} + c_{2} e^{-3t},
y' = 2 c_{1} e^{2t} - 3 c_{2} e^{-3t},
y'' = 4 c_{1} e^{2t} + 9 c_{2} e^{-3t}.
Substituindo em y'' + y' - 6y:
y'' + y' - 6y = (4 c_{1} e^{2t} + 9 c_{2} e^{-3t}) + (2 c_{1} e^{2t} - 3 c_{2} e^{-3t}) - 6(c_{1} e^{2t} + c_{2} e^{-3t}).
Agrupando termos em e^{2t} e e^{-3t}:
= (4+2-6)c_{1} e^{2t} + (9-3-6)c_{2} e^{-3t} = 0\cdot c_{1} e^{2t} + 0\cdot c_{2} e^{-3t} = 0.
Logo a solução satisfaz a equação encontrada, como esperado.

Resposta

y'' + y' - 6y = 0

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