O valor de “a” para que a função f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}, \text { se } x \neq 3 \\\ a \quad, \text { se } x=3\end{array}\right. seja contínua em x=3 é:
a) \sqrt{3}
b) \frac{\sqrt{3}}{3}
c) \frac{1}{3}
d) \frac{\sqrt{3}}{6}
e) \frac{1}{6}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é dada por
f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}, & \text{se } x\neq 3,\\[6pt] a, & \text{se } x=3. \end{cases}
  • A pergunta: determinar o valor de a para que f seja contínua em x=3.
  • As alternativas fornecidas são:
    • (a) \sqrt{3}
    • (b) \dfrac{\sqrt{3}}{3}
    • (c) \dfrac{1}{3}
    • (d) \dfrac{\sqrt{3}}{6}
    • (e) \dfrac{1}{6}]

Passo 2

O que significa ser contínua em x=3? Precisamos que
\lim_{x\to 3} f(x)=f(3).
Como f(3)=a, isso exige
a=\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}.
Então o objetivo é calcular o limite do ramo \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} quando x\to 3 e igualar esse limite a a.

Passo 3

Verificação rápida: ao substituir x=3 diretamente no quociente obtemos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}, porque \sqrt{3}-\sqrt{3}=0 e 3-3=0. Por isso é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar essa indeterminação antes de avaliar o limite.
Observação sobre domínio: \sqrt{x} exige x\ge 0; como 3>0, aproximar x por valores próximos de 3 é válido.

Passo 4

Usamos a técnica do conjugado para simplificar. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{3}:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}.
No numerador aparece a diferença de quadrados:
(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3}) = x-3.
Assim, para x\neq 3 temos a simplificação
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}=\frac{x-3}{(x-3)\,(\sqrt{x}+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}.

Passo 5

Agora calculamos o limite usando a forma simplificada. Como a expressão \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} é contínua perto de x=3, basta substituir x=3:
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} = \lim_{x\to 3}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Podemos racionalizar esse resultado para uma forma alternativa:
\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{6}.

Passo 6

Pela condição de continuidade, devemos ter
a=\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
Comparando com as alternativas, a resposta corresponde à alternativa (d).
Comentário didático extra (fórmula geral): para qualquer a>0,
\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{2\sqrt{a}},
obtido pelo mesmo truque do conjugado. Exemplo rápido: se a=4 então o limite de \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4} quando x\to 4 é \dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}. Assim, esse procedimento é uma receita que vale sempre que aparecer essa forma indeterminada com raízes quadradas.
Força aí — essa manipulação do conjugado é uma das ferramentas que mais aparecem em provas; praticala mais uma vez em exercícios parecidos para ganhar confiança!

Resposta

d) \dfrac{\sqrt{3}}{6}

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