O valor de “a” para que a função f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}, \text { se } x \neq 3 \\\ a \quad, \text { se } x=3\end{array}\right. seja contínua em x=3 é:
a) \sqrt{3}
b) \frac{\sqrt{3}}{3}
c) \frac{1}{3}
d) \frac{\sqrt{3}}{6}
e) \frac{1}{6}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A pergunta: determinar o valor de a para que f seja contínua em x=3.
As alternativas fornecidas são:
(a) \sqrt{3}
(b) \dfrac{\sqrt{3}}{3}
(c) \dfrac{1}{3}
(d) \dfrac{\sqrt{3}}{6}
(e) \dfrac{1}{6}]
Passo 2
O que significa ser contínua em x=3? Precisamos que
\lim_{x\to 3} f(x)=f(3).
Como f(3)=a, isso exige
a=\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}.
Então o objetivo é calcular o limite do ramo \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} quando x\to 3 e igualar esse limite a a.
Passo 3
Verificação rápida: ao substituir x=3 diretamente no quociente obtemos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}, porque \sqrt{3}-\sqrt{3}=0 e 3-3=0. Por isso é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar essa indeterminação antes de avaliar o limite.
Observação sobre domínio: \sqrt{x} exige x\ge 0; como 3>0, aproximar x por valores próximos de 3 é válido.
Passo 4
Usamos a técnica do conjugado para simplificar. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{3}:
obtido pelo mesmo truque do conjugado. Exemplo rápido: se a=4 então o limite de \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4} quando x\to 4 é \dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}. Assim, esse procedimento é uma receita que vale sempre que aparecer essa forma indeterminada com raízes quadradas.
Força aí — essa manipulação do conjugado é uma das ferramentas que mais aparecem em provas; praticala mais uma vez em exercícios parecidos para ganhar confiança!