Seja f uma função de domínio D(f)=\mathbb{R}-\{a\}. Sabe-se que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escreve-se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L, se para todo \varepsilon>0, existir \delta>0, tal que se 0<|x-a|<\delta então |f(x)-L|<\varepsilon.
Nessas condições, analise as afirmativas abaixo.
I - Seja f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2}-3 x+2}{x-1} & \text { se } x \neq 1 \\\\ 3 & \text { se } x=1\end{array}, \operatorname{logo}, \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0\right..
II - Na função f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-4 & \text { se } x<1 \\\\ -1 & \text { se } x=1 \\\\ 3-x & \text { se } x>1\end{array}\right., tem-se \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-3.
III - Sejam f eg funções quaisquer, pode-se afirmar que \lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{a}}(\mathrm{f} \cdot \mathrm{g})^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(\mathrm{L} \cdot \mathrm{M})^{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}, se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M.
LISTA LIMITES - MATEMÁTICA - PROF. VITÓRIO GAUSS
Assinale a opção correta.
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado lembra a definição de limite: [\lim_{x\to a} f(x)=L) significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se 0<|x-a|<\delta então |f(x)-L|<\varepsilon.
Pede-se analisar a veracidade das três afirmativas I, II e III abaixo:
Portanto, para todo x próximo de 1 com x\neq 1 vale f(x)=x-2.
Agora calcule a limite (esta parte usa a ideia: se f(x)= expressão simplificada em uma vizinhança de a exceto em a, o limite é o valor dessa expressão em a):
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (x-2)=1-2=-1.
A afirmativa dizia que o limite seria 0. Conclusão: a afirmativa I é falsa. (Observação didática: aqui há uma descontinuidade removível em x=1: a função foi definida com valor f(1)=3 diferente do limite -1. Isso é comum: limite e valor da função em a podem ser diferentes.)
Passo 3
Análise da afirmativa II.
Para verificar \lim_{x\to 1} f(x) precisamos comparar os limites laterais.
Limite pela esquerda (x\to 1^-), usamos a definição para x<1:
Limite pela direita (x\to 1^+), usamos a definição para x>1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (3-x)=3-1=2.
Como \lim_{x\to 1^-} f(x)=-3 e \lim_{x\to 1^+} f(x)=2 e esses dois números são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to 1} f(x) não existe. A afirmativa II dizia que o limite seria -3, o que seria verdade apenas para o limite pela esquerda, mas o limite bilateral NÃO é -3. Conclusão: a afirmativa II é falsa.
(Comentário didático: para existir \lim_{x\to a} f(x) é necessário e suficiente que os limites laterais existam e sejam iguais. O valor f(1)=-1 é irrelevante para a existência do limite.)
Passo 4
Análise da afirmativa III.
Hipóteses: \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M (valores finitos). Primeiro usamos a propriedade padrão de limites: limite do produto é produto dos limites. Explico uma prova simples (vareta didática usando \varepsilon-\delta).
Queremos mostrar \lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM. Seja \varepsilon>0 dado. Como \lim_{x\to a} f(x)=L, existe \delta_1>0 tal que se 0<|x-a|<\delta_1 então |f(x)-L|<1. Isso garante que, nessa vizinhança, f(x) é limitada, pois então |f(x)|\le |L|+1.
Como \lim_{x\to a} g(x)=M, existe \delta_2>0 tal que se 0<|x-a|<\delta_2 então
|g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2\bigl(|L|+1\bigr)}.
Também, como \lim f(x)=L, existe \delta_3>0 tal que se 0<|x-a|<\delta_3 então
|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2\bigl(|M|+1\bigr)}.
Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3). Para 0<|x-a|<\delta temos
Agora considere \bigl(f(x)g(x)\bigr)^n com n\in\mathbb{N}^*. Como a função h(t)=t^n é contínua em \mathbb{R} para inteiro n\ge 1, vale o lema: limite da composição é a composição dos limites. Assim
(Comentário didático: outra forma de ver a etapa final é usar indução em n ou notar que, tendo \lim f(x)g(x)=LM, então elevar ao expoente inteiro é uma operação contínua que preserva limites.)
Passo 5
Conclusão final das três afirmativas: I é falsa, II é falsa, III é verdadeira. Assim a opção correta é a que diz “Apenas a afirmativa III é verdadeira”.