[3] (2,0 pontos) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a função é
definida quando
. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
se aproxima de
?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa limite em duas variáveis de forma prática: se existir um número
tal que, para qualquer caminho que leve
a
, os valores de
se aproximarem de
, então o limite existe e é
. Uma forma simples de testar se o limite não existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam em
e dão limites diferentes — aí já dá pra concluir que o limite não existe. Vou testar caminhos simples e depois fazer uma demonstração mais completa com coordenadas polares.
Passo 3
Teste pelo caminho
. Substituindo
obtemos, para
,
Portanto, ao nos aproximarmos de
ao longo da reta
(ou seja,
com
), a expressão vale sempre
, e então
Passo 4
Teste pelo caminho
. Substituindo
obtemos, para
,
Portanto, ao nos aproximarmos de
ao longo da reta
(ou seja,
com
), a expressão vale sempre
, e então
Passo 5
Como encontramos duas aproximações (caminhos) que dão limites diferentes —
pela reta
e
pela reta
— isso já é suficiente para concluir que o limite total quando
não existe. Mas vamos reforçar com uma explicação completa usando coordenadas polares, que mostra de forma mais clara por que o valor depende da direção de aproximação.
Passo 6
Use coordenadas polares: escrevemos
e
, com
e
o ângulo. Então
e
Portanto, para
,
Observe que o resultado não depende de
(ou seja, de quão perto do zero estamos), mas depende do ângulo
. Isso significa que ao aproximar
de
por direções diferentes (valores diferentes de
) obtemos valores distintos para a razão. Por exemplo,
(reta
) dá
,
(reta
) dá
,
dá
. Logo o valor limite depende do caminho, prova definitiva de que o limite não existe.
Passo 7
Conclusão final: como o valor da expressão depende da direção de aproximação (dá
,
,
, etc., conforme
), o limite quando
não existe. Força aí — esse tipo de exercício costuma dar esse truque de dependência angular; a ideia chave é sempre testar caminhos simples e, se sobrar dúvida, passar para polares.
Resposta
O limite não existe.