[3] (2,0 pontos) Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas: a função é \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} definida quando (x,y)\neq(0,0). A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y) se aproxima de (0,0)?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa limite em duas variáveis de forma prática: se existir um número L tal que, para qualquer caminho que leve (x,y) a (0,0), os valores de \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} se aproximarem de L, então o limite existe e é L. Uma forma simples de testar se o limite não existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam em (0,0) e dão limites diferentes — aí já dá pra concluir que o limite não existe. Vou testar caminhos simples e depois fazer uma demonstração mais completa com coordenadas polares.

Passo 3

Teste pelo caminho y=0. Substituindo y=0 obtemos, para x\neq0,
\frac{x^{2}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Portanto, ao nos aproximarmos de (0,0) ao longo da reta y=0 (ou seja, x\to0 com y=0), a expressão vale sempre 1, e então
\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\\ y=0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 1.

Passo 4

Teste pelo caminho x=0. Substituindo x=0 obtemos, para y\neq0,
\frac{0^{2}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
Portanto, ao nos aproximarmos de (0,0) ao longo da reta x=0 (ou seja, y\to0 com x=0), a expressão vale sempre -1, e então
\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\\ x=0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = -1.

Passo 5

Como encontramos duas aproximações (caminhos) que dão limites diferentes — 1 pela reta y=0 e -1 pela reta x=0 — isso já é suficiente para concluir que o limite total quando (x,y)\to(0,0) não existe. Mas vamos reforçar com uma explicação completa usando coordenadas polares, que mostra de forma mais clara por que o valor depende da direção de aproximação.

Passo 6

Use coordenadas polares: escrevemos x = r\cos\theta e y = r\sin\theta, com r\ge0 e \theta o ângulo. Então
x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos(2\theta)
e
x^{2}+y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\cos(2\theta)}{r^{2}}=\cos(2\theta).
Observe que o resultado não depende de r (ou seja, de quão perto do zero estamos), mas depende do ângulo \theta. Isso significa que ao aproximar (x,y) de (0,0) por direções diferentes (valores diferentes de \theta) obtemos valores distintos para a razão. Por exemplo, \theta=0 (reta y=0) dá \cos(0)=1, \theta=\tfrac{\pi}{2} (reta x=0) dá \cos(\pi)=-1, \theta=\tfrac{\pi}{4} \cos(\tfrac{\pi}{2})=0. Logo o valor limite depende do caminho, prova definitiva de que o limite não existe.

Passo 7

Conclusão final: como o valor da expressão depende da direção de aproximação (dá 1, -1, 0, etc., conforme \theta), o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe. Força aí — esse tipo de exercício costuma dar esse truque de dependência angular; a ideia chave é sempre testar caminhos simples e, se sobrar dúvida, passar para polares.

Resposta

O limite não existe.

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