Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
16.
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Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
e dá a própria função. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações temos:
- Função dada:
. - Pedidos:
- Encontrar os extremos relativos (mínimos ou máximos locais). Usar o teste da derivada segunda quando possível; quando a derivada segunda for inconclusiva, usar o teste da derivada primeira.
- Usar a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão.
- Determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
- Fazer um esboço qualitativo do gráfico, marcando pontos importantes (zeros, extremos, inflexões).
- Informações úteis que tiramos da função imediatamente:
-
é um polinômio (logo derivável em todo ). - Zeros:
e (pois ).
-
Passo 2
Vou calcular a primeira derivada
. Aqui uso a regra do produto: se
e
são funções,
. Tomo
e
.
-
. -
(regra da cadeia: derivada de é multiplicada pela derivada interna).
Aplicando a regra do produto:
Agora fatoro
em evidência para simplificar:
Explicação rápida: fatorar ajuda a ver raízes e multiplicidades sem expandir tudo.
Passo 3
Encontro os pontos críticos (onde
ou
indefinida). Aqui
é polinômio, então está definido em todo lugar; resolvo
:
As soluções são:
Ou seja, pontos críticos em
e
. Para decidir se são mínimo, máximo ou nenhum, uso o teste da derivada segunda quando puder.
Passo 4
Calculo a derivada segunda
. Posso derivar
usando produto novamente. Seja
e
.
-
. -
.
Logo
Fatoro
:
E
, então
Passo 5
Aplico o teste da derivada segunda em
.
- Primeiro verifico
(já sabemos). - Calculo
:
Como
, pelo teste da derivada segunda temos que
tem um mínimo local em
.
Calculo também o valor da função no ponto mínimo:
Calculo também o valor da função no ponto mínimo:
Passo 6
Em
temos
e
. Como
, o teste da derivada segunda é inconclusivo. Vou então usar o teste da derivada primeira (analisar o sinal de
à esquerda e à direita de
).
Observação sobre : o fator
é sempre não negativo e só anula em
; o sinal de
é determinado essencialmente por
, exceto em
onde o produto é zero devido ao quadrado.
Observação sobre
- Para
: então . - Para
: e , então . - Para
: novamente e , então .
Logo o sinal depassa de negativo (à esquerda de ) para positivo (entre e ), o que confirma o mínimo em . Em a derivada passa de positiva (à esquerda) para positiva (à direita) — não há mudança de sinal em . Portanto não é extremo relativo.
Calculo o valor deem :
Passo 7
Procuro pontos de inflexão: são pontos onde
e a concavidade muda de sinal.
Resolvo . As soluções são
Resolvo
Calculo os valores correspondentes:
Agora determino os intervalos de concavidade analisando o sinal de
:
- Para
: escolha . Temos e , produto positivo, logo . Então é côncava para cima em . - Para
: escolha . Aqui e , produto negativo, logo . Então é côncava para baixo em . - Para
: escolha . Aqui e , produto positivo, logo . Então é côncava para cima em .
Conclusão: pontos de inflexão eme com pontos e . Mudança de concavidade confirma ambos como inflexões.
Passo 8
Interpreto a forma do gráfico e marco os pontos importantes para o esboço:
- Zeros (interseções com o eixo
): e . O zero em tem multiplicidade 1 (cruza o eixo). O zero em tem multiplicidade 3 (ímpar), então também cruza o eixo, mas com achatamento (mais suave) — de fato é um ponto de inflexão estacionário. - Extremos: mínimo local em
(aprox. ). Não há máximo local. - Pontos de inflexão:
(aprox. ) e . - Comportamento para
: como é um polinômio de grau com coeficiente líder positivo (expandindo obtém-se ), temos quando . Então ambas as “pontas” do gráfico vão para .
Esboço qualitativo (descrição passo a passo do traçado): - À esquerda,
vem de , é côncava para cima até , cruza o eixo em indo para negativo, continua descendo até o mínimo em , depois sobe (trocando concavidade em ), continua subindo, passa por com achatamento (ponto de inflexão estacionário), e depois segue para para , sendo côncava para cima depois de .
Marque no esboço os pontos:, (mínimo), (inflexão), (inflexão estacionária).
Resposta
Mínimo local em
.
Não há máximo local.
Pontos de inflexão: e
.
Côncava para cima em ; côncava para baixo em
.
Esboço: polinômio de grau 4 com ambas as pontas para ; cruza em
e em
(multiplicidade 3, achatado), mínimo em
, inflexões em
e
.
Não há máximo local.
Pontos de inflexão:
Côncava para cima em
Esboço: polinômio de grau 4 com ambas as pontas para