Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
16. f(x)=x(x-1)^{3}

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f e dá a própria função. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações temos:
  • Função dada: f(x)=x(x-1)^{3}.
  • Pedidos:
    1. Encontrar os extremos relativos (mínimos ou máximos locais). Usar o teste da derivada segunda quando possível; quando a derivada segunda for inconclusiva, usar o teste da derivada primeira.
    2. Usar a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão.
    3. Determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
    4. Fazer um esboço qualitativo do gráfico, marcando pontos importantes (zeros, extremos, inflexões).
  • Informações úteis que tiramos da função imediatamente:
    • f é um polinômio (logo derivável em todo \mathbb{R}).
    • Zeros: x=0 e x=1 (pois f(x)=x(x-1)^3).

Passo 2

Vou calcular a primeira derivada f'(x). Aqui uso a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (uv)'=u'v+uv'. Tomo u(x)=x e v(x)=(x-1)^3.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=3(x-1)^2 (regra da cadeia: derivada de (\cdot)^3 é 3(\cdot)^2 multiplicada pela derivada interna).
    Aplicando a regra do produto:
f'(x)=1\cdot (x-1)^3 + x\cdot 3(x-1)^2.
Agora fatoro (x-1)^2 em evidência para simplificar:
f'(x)=(x-1)^2\big[(x-1)+3x\big]=(x-1)^2(4x-1).
Explicação rápida: fatorar ajuda a ver raízes e multiplicidades sem expandir tudo.

Passo 3

Encontro os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida). Aqui f' é polinômio, então está definido em todo lugar; resolvo f'(x)=0:
(x-1)^2(4x-1)=0.
As soluções são:
x=1\quad(\text{multiplicidade }2),\qquad x=\tfrac{1}{4}.
Ou seja, pontos críticos em x=\tfrac{1}{4} e x=1. Para decidir se são mínimo, máximo ou nenhum, uso o teste da derivada segunda quando puder.

Passo 4

Calculo a derivada segunda f''(x). Posso derivar f'(x)=(x-1)^2(4x-1) usando produto novamente. Seja a(x)=(x-1)^2 e b(x)=4x-1.
  • a'(x)=2(x-1).
  • b'(x)=4.
    Logo
f''(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=2(x-1)(4x-1)+4(x-1)^2.
Fatoro 2(x-1):
f''(x)=2(x-1)\big[(4x-1)+2(x-1)\big]=2(x-1)(6x-3).
E 6x-3=3(2x-1), então
f''(x)=6(x-1)(2x-1).

Passo 5

Aplico o teste da derivada segunda em x=\tfrac{1}{4}.
  • Primeiro verifico f'(\tfrac{1}{4})=0 (já sabemos).
  • Calculo f''(\tfrac{1}{4}):
f''\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=6\left(\tfrac{1}{4}-1\right)\left(2\cdot\tfrac{1}{4}-1\right) =6\left(-\tfrac{3}{4}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right)=6\cdot\tfrac{3}{8}=\tfrac{18}{8}=\tfrac{9}{4}>0.
Como f''(\tfrac{1}{4})>0, pelo teste da derivada segunda temos que f tem um mínimo local em x=\tfrac{1}{4}.
Calculo também o valor da função no ponto mínimo:
f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\tfrac{1}{4}\big(\tfrac{1}{4}-1\big)^3=\tfrac{1}{4}\big(-\tfrac{3}{4}\big)^3=\tfrac{1}{4}\cdot\big(-\tfrac{27}{64}\big)=-\tfrac{27}{256}.

Passo 6

Em x=1 temos f'(1)=0 e f''(1)=6(1-1)(2\cdot1-1)=0. Como f''(1)=0, o teste da derivada segunda é inconclusivo. Vou então usar o teste da derivada primeira (analisar o sinal de f' à esquerda e à direita de x=1).
Observação sobre f'(x)=(x-1)^2(4x-1): o fator (x-1)^2 é sempre não negativo e só anula em x=1; o sinal de f'(x) é determinado essencialmente por (4x-1), exceto em x=1 onde o produto é zero devido ao quadrado.
  • Para x<\tfrac{1}{4}: 4x-1<0 então f'(x)<0.
  • Para \tfrac{1}{4}<x<1: 4x-1>0 e (x-1)^2>0, então f'(x)>0.
  • Para x>1: novamente 4x-1>0 e (x-1)^2>0, então f'(x)>0.
    Logo o sinal de f' passa de negativo (à esquerda de \tfrac{1}{4}) para positivo (entre \tfrac{1}{4} e 1), o que confirma o mínimo em \tfrac{1}{4}. Em x=1 a derivada passa de positiva (à esquerda) para positiva (à direita) — não há mudança de sinal em x=1. Portanto x=1 não é extremo relativo.
    Calculo o valor de f em x=1:
f(1)=1\cdot(1-1)^3=0.

Passo 7

Procuro pontos de inflexão: são pontos onde f''(x)=0 e a concavidade muda de sinal.
Resolvo f''(x)=6(x-1)(2x-1)=0. As soluções são
x=1\quad\text{e}\quad x=\tfrac{1}{2}.
Calculo os valores correspondentes:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}-1\big)^3=\tfrac{1}{2}\big(-\tfrac{1}{2}\big)^3=\tfrac{1}{2}\cdot\big(-\tfrac{1}{8}\big)=-\tfrac{1}{16},
f(1)=0\quad(\text{já calculado}).á
Agora determino os intervalos de concavidade analisando o sinal de f''(x)=6(x-1)(2x-1):
  • Para x<\tfrac{1}{2}: escolha x=0. Temos (x-1)<0 e (2x-1)<0, produto positivo, logo f''(x)>0. Então f é côncava para cima em (-\infty,\tfrac{1}{2}).
  • Para \tfrac{1}{2}<x<1: escolha x=0{,}75. Aqui (x-1)<0 e (2x-1)>0, produto negativo, logo f''(x)<0. Então f é côncava para baixo em (\tfrac{1}{2},1).
  • Para x>1: escolha x=2. Aqui (x-1)>0 e (2x-1)>0, produto positivo, logo f''(x)>0. Então f é côncava para cima em (1,\infty).
    Conclusão: pontos de inflexão em x=\tfrac{1}{2} e x=1 com pontos \big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{16}\big) e (1,0). Mudança de concavidade confirma ambos como inflexões.

Passo 8

Interpreto a forma do gráfico e marco os pontos importantes para o esboço:
  • Zeros (interseções com o eixo x): (0,0) e (1,0). O zero em x=0 tem multiplicidade 1 (cruza o eixo). O zero em x=1 tem multiplicidade 3 (ímpar), então também cruza o eixo, mas com achatamento (mais suave) — de fato é um ponto de inflexão estacionário.
  • Extremos: mínimo local em \left(\tfrac{1}{4}, -\tfrac{27}{256}\right) (aprox. \left(0{,}25,-0{,}1055\right)). Não há máximo local.
  • Pontos de inflexão: \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{16}\right) (aprox. (0{,}5,-0{,}0625)) e (1,0).
  • Comportamento para x\to\pm\infty: como f(x)=x(x-1)^3 é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo (expandindo obtém-se x^4+\cdots), temos f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty. Então ambas as “pontas” do gráfico vão para +\infty.
    Esboço qualitativo (descrição passo a passo do traçado):
  • À esquerda, f vem de +\infty, é côncava para cima até \tfrac{1}{2}, cruza o eixo em 0 indo para negativo, continua descendo até o mínimo em x=\tfrac{1}{4}, depois sobe (trocando concavidade em x=\tfrac{1}{2}), continua subindo, passa por (1,0) com achatamento (ponto de inflexão estacionário), e depois segue para +\infty para x\to+\infty, sendo côncava para cima depois de x=1.
    Marque no esboço os pontos: (0,0), \left(\tfrac{1}{4},-\tfrac{27}{256}\right) (mínimo), \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{16}\right) (inflexão), (1,0) (inflexão estacionária).

Resposta

Mínimo local em \left(\tfrac{1}{4}, -\tfrac{27}{256}\right).
Não há máximo local.
Pontos de inflexão: \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{16}\right) e (1,0).
Côncava para cima em (-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(1,\infty); côncava para baixo em (\tfrac{1}{2},1).
Esboço: polinômio de grau 4 com ambas as pontas para +\infty; cruza em (0,0) e em (1,0) (multiplicidade 3, achatado), mínimo em \left(\tfrac{1}{4}, -\tfrac{27}{256}\right), inflexões em \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{16}\right) e (1,0).

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