Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
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Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
no intervalo
:
- Achar os extremos relativos (mínimos e máximos locais).
- Usar o teste da derivada segunda quando possível; se a derivada segunda não puder ser usada num ponto crítico, usar o teste da derivada primeira.
- Usar a derivada segunda para encontrar pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
- Fazer um esboço (descrever qualitativamente o gráfico e assintotas).
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Pontos onde a função e as derivadas não existem: onde
, isto é em . Dentro do intervalo aparecem assíntotas verticais em (nesses pontos é indefinido). - Devo considerar apenas os pontos do domínio (ou seja, excluir os pontos onde
).
A resolução começa agora.
Passo 2
Calcular a derivada primeira
. Vou explicar passo a passo a diferenciação:
- Lembre que
. A derivada de é . A derivada de é . - Usando isso,
Aqui
indica a taxa de variação instantânea de
em
; pontos críticos ocorrem quando
ou quando
não está definida (no nosso caso isto ocorre quando
, que já отметamos).
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
(dentro do domínio).
Temos a equação
Expressando em termos de seno e cosseno:
Multiplicando
:
Usando
, obtemos uma equação em
:
Isto é uma quadrática em
:
Dessas duas raízes, apenas a positiva é admissível (
deve ficar entre
e
):
As soluções gerais de
são
Defina
Logo as soluções são
e
.
Agora escolhemos as soluções que caem no intervalo
(lembrando que os extremos do intervalo coincidem com assíntotas, onde a função não existe). Tomando
e
obtemos três soluções dentro do intervalo de interesse:
-
(está em ); -
(está em ); -
(está em ).
Esses três pontos são todos os pontos críticos da função no domínio considerado (fora das assíntotas).
Passo 4
Calcular a derivada segunda
(para usar o teste da derivada segunda).
Partindo de
, derivamos novamente. Vou mostrar o produto passo a passo:
- Derivada de
usando a regra do produto: . - Sabemos
e .
Assim,
Portanto
Observação prática: usando a relação
, por vezes dá pra manipular, mas a forma acima é conveniente.
Passo 5
Aplicar o teste da derivada segunda nos pontos críticos (onde
está definida).
Primeiro note que
está definida sempre que
(mesmo domínio onde
está definida). Portanto nos três pontos críticos acima a derivada segunda existe e podemos usar o teste.
Para simplificar a avaliação de
nos pontos críticos, aproveitamos que nos pontos críticos vale
, o que implica
. Substituindo em
:
Como
, outra forma é
Agora avaliamos o sinal em cada ponto crítico (basta saber o sinal de
e o valor absoluto de
, mas vamos dar valores aproximados para ficar claro):
Dados conhecidos (da equação
):
-
, . Então (positiva em QI). Assim . - Então
. - Conclusão: em
a derivada segunda é positiva, logo existe um mínimo local em .
- Então
-
Para
, estamos no quadrante II: , mas . Portanto . - Então
. - Conclusão: em
a derivada segunda é negativa, logo existe um máximo local em .
- Então
-
Para
, observe que é coterminal com menos , então trigonometria dá os mesmos valores de seno e cosseno que em : e . Logo e . - Conclusão: em
também temos um máximo local.
- Conclusão: em
Portanto o teste da derivada segunda foi aplicável e nos deu:
- mínimo local em
; - máximos locais em
e em .
Passo 6
Calcular as coordenadas (valores de
) nos extremos para poder apresentar os extremos relativos completos.
Usamos
. Nos pontos críticos já calculados aproximadamente:
- Em
: e , logo
- Em
: e , logo
- Em
: e , logo
Assim temos as coordenadas aproximadas dos extremos relativos.
Passo 7
Determinar pontos de inflexão e intervalos de concavidade usando a derivada segunda.
Lembre que pontos de inflexão são pontos do domínio onde
ou é indefinida, e onde a concavidade muda de sinal ao atravessar o ponto.
Temos
. Observações:
-
é zero nunca (não existe com ). -
e só seria zero se e simultaneamente, o que não ocorre; portanto para todo no domínio. - Assim
não tem solução em pontos do domínio. A derivada segunda só pode mudar de sinal quando se atravessa um ponto onde ela é indefinida (i.e., uma assíntota vertical, onde ). Mas nesses pontos a função não está definida, então não são pontos de inflexão (pois pontos de inflexão devem pertencer ao domínio da função).
Concluímos:
- Não há pontos de inflexão no domínio considerado (nenhum
com dentro do domínio). - Para concavidade, basta ver o sinal de
em cada intervalo entre assíntotas: - Em
: escolha , . Logo côncavo para baixo nesse intervalo. - Em
: escolha , . Logo côncavo para cima nesse intervalo. - Em
: escolha , . Logo côncavo para baixo nesse intervalo.
- Em
Resumindo: concavidade para cima em
; concavidade para baixo em
e em
. Não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 8
Discussão final e esboço qualitativo do gráfico (comportamento e assíntotas).
Pontos importantes para esboçar:
- Assíntotas verticais em
. No intervalo dado aparecem em
. A função tende a ao se aproximar dessas linhas (sinais trocam conforme o lado, porque muda de sinal). - Três extremos locais (cada um em um arco entre assíntotas):
- mínimo local em
(no ramo central), com ; - máximo local em
(ramo esquerdo), com ; - máximo local em
(ramo direito), com .
- mínimo local em
- Concavidade: o ramo central entre
e é côncavo para cima; os ramos esquerdo e direito (entre e e entre e ) são côncavos para baixo. - Não há pontos de inflexão pertencentes ao domínio.
Esboço qualitativo (descrição que você pode desenhar):
- Trace assíntotas verticais nas
indicadas. - No ramo central (entre
e ) o gráfico vem de ao se aproximar de pela direita, desce, tem um mínimo em e sobe para ao se aproximar de pela esquerda (é côncavo para cima). - No ramo esquerdo (entre
e ) o gráfico tende a perto de por um lado, decai, tem um máximo em , e vai para ao se aproximar de pela esquerda (côncavo para baixo). - No ramo direito (entre
e ) o comportamento é análogo: vindo de na aproximação a pela direita, atinge um máximo em e depois vai para ao se aproximar de , também côncavo para baixo.
Resposta
Extremos relativos:
Mínimo local em , com
.
Mínimo local em
Máximo local em
, com
.
Máximo local em
, com
.
Pontos de inflexão:
Não há pontos de inflexão no domínio (nenhum com
dentro do domínio).
Não há pontos de inflexão no domínio (nenhum
Concavidade:
Côncavo para cima em .
Côncavo para baixo em e em
.
Côncavo para cima em
Côncavo para baixo em
Esboço (qualitativo):
Assíntotas verticais em . Ramo central (entre
e
) côncavo para cima com mínimo em
. Ramos lateral esquerdo e direito côncavos para baixo com máximos em
e
, respectivamente.
Assíntotas verticais em