Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
26. f(x)=\operatorname{sec} x-x ; x \in\left[-\frac{3}{2} \pi, \frac{3}{2} \pi\right]

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função \;f(x)=\operatorname{sec} x - x\; no intervalo \;\left[-\tfrac{3}{2}\pi,\tfrac{3}{2}\pi\right]\;:
  • Achar os extremos relativos (mínimos e máximos locais).
  • Usar o teste da derivada segunda quando possível; se a derivada segunda não puder ser usada num ponto crítico, usar o teste da derivada primeira.
  • Usar a derivada segunda para encontrar pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
  • Fazer um esboço (descrever qualitativamente o gráfico e assintotas).
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \;f(x)=\operatorname{sec} x - x\;.
  • O intervalo considerado é \;\left[-\tfrac{3}{2}\pi,\tfrac{3}{2}\pi\right]\;.
  • Pontos onde a função e as derivadas não existem: onde \cos x=0, isto é em \;x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;. Dentro do intervalo aparecem assíntotas verticais em \;x=-\tfrac{3}{2}\pi,\;x=-\tfrac{\pi}{2},\;x=\tfrac{\pi}{2},\;x=\tfrac{3}{2}\pi\; (nesses pontos \operatorname{sec} x é indefinido).
  • Devo considerar apenas os pontos do domínio (ou seja, excluir os pontos onde \cos x=0).
A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular a derivada primeira \;f'(x)\;. Vou explicar passo a passo a diferenciação:
  • Lembre que \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1}. A derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. A derivada de -x é -1.
  • Usando isso,
f'(x)=\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)-\frac{d}{dx}(x)=\operatorname{sec} x\tan x - 1.
Aqui \;f'(x)\; indica a taxa de variação instantânea de f em x; pontos críticos ocorrem quando \;f'(x)=0\; ou quando \;f' não está definida (no nosso caso isto ocorre quando \cos x=0, que já отметamos).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo \;f'(x)=0\; (dentro do domínio).
Temos a equação
\operatorname{sec} x\tan x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec} x\tan x = 1.
Expressando em termos de seno e cosseno:
\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin x}{\cos^2 x}=1.
Multiplicando \cos^2 x:
\sin x = \cos^2 x.
Usando \cos^2 x = 1-\sin^2 x, obtemos uma equação em \sin x:
\sin x = 1 - \sin^2 x \quad\Longrightarrow\quad \sin^2 x + \sin x - 1 = 0.
Isto é uma quadrática em s=\sin x:
s^2 + s - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Dessas duas raízes, apenas a positiva é admissível ( \sin x deve ficar entre -1 e 1):
\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618\ldots
As soluções gerais de \sin x = s são
x = \arcsin(s) + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = \pi - \arcsin(s) + 2k\pi.
Defina
\alpha := \arcsin\!\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\quad(\text{valor principal},\;\alpha\approx 0,666\ldots).
Logo as soluções são x=\alpha+2k\pi e x=\pi-\alpha+2k\pi.
Agora escolhemos as soluções que caem no intervalo \left(-\tfrac{3}{2}\pi,\tfrac{3}{2}\pi\right) (lembrando que os extremos do intervalo coincidem com assíntotas, onde a função não existe). Tomando k=0 e k=-1 obtemos três soluções dentro do intervalo de interesse:
  • x_1=\alpha\approx 0,666 (está em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}));
  • x_2=\pi-\alpha\approx 2,476 (está em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}));
  • x_3=\pi-\alpha-2\pi=-\pi-\alpha\approx -3,808 (está em (-\tfrac{3\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2})).
Esses três pontos são todos os pontos críticos da função no domínio considerado (fora das assíntotas).

Passo 4

Calcular a derivada segunda \;f''(x)\; (para usar o teste da derivada segunda).
Partindo de f'(x)=\operatorname{sec} x\tan x - 1, derivamos novamente. Vou mostrar o produto passo a passo:
  • Derivada de \operatorname{sec} x\tan x usando a regra do produto: (\operatorname{sec} x)' \tan x + \operatorname{sec} x (\tan x)'.
  • Sabemos (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x e (\tan x)'=\operatorname{sec}^2 x.
    Assim,
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x\tan x)=\operatorname{sec} x\tan x\cdot\tan x + \operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec}^2 x = \operatorname{sec} x(\tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x).
Portanto
f''(x)=\operatorname{sec} x(\tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x).
Observação prática: usando a relação \tan^2 x+1=\operatorname{sec}^2 x, por vezes dá pra manipular, mas a forma acima é conveniente.

Passo 5

Aplicar o teste da derivada segunda nos pontos críticos (onde f'' está definida).
Primeiro note que \;f''(x)\; está definida sempre que \cos x\neq 0 (mesmo domínio onde f está definida). Portanto nos três pontos críticos acima a derivada segunda existe e podemos usar o teste.
Para simplificar a avaliação de f'' nos pontos críticos, aproveitamos que nos pontos críticos vale \operatorname{sec} x\tan x=1, o que implica \tan x = 1/\operatorname{sec} x. Substituindo em f'':
f''(x)=\operatorname{sec} x\Big(\tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x\Big) =\operatorname{sec} x\Big(\frac{1}{\operatorname{sec}^2 x}+\operatorname{sec}^2 x\Big) =\frac{1}{\operatorname{sec} x}+\operatorname{sec}^3 x.
Como \frac{1}{\operatorname{sec} x}=\cos x, outra forma é
f''(x)=\cos x + \operatorname{sec}^3 x.
Agora avaliamos o sinal em cada ponto crítico (basta saber o sinal de \cos x e o valor absoluto de \operatorname{sec} x, mas vamos dar valores aproximados para ficar claro):
Dados conhecidos (da equação \sin x=\frac{\sqrt5-1}{2}):
  • \alpha\approx 0,666, \sin\alpha\approx 0,618. Então \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\approx 0,786 (positiva em QI). Assim \operatorname{sec}\alpha\approx 1,272.
    • Então f''(\alpha)\approx \frac{1}{1,272} + (1,272)^3 \approx 0,786 + 2,060 \approx 2,846 >0.
    • Conclusão: em x=\alpha a derivada segunda é positiva, logo existe um mínimo local em x=\alpha.
  • Para x=\pi-\alpha\approx 2,476, estamos no quadrante II: \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\approx 0,618, mas \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\approx -0,786. Portanto \operatorname{sec}(\pi-\alpha)\approx -1,272.
    • Então f''(\pi-\alpha)\approx \frac{1}{-1,272}+(-1,272)^3 \approx -0,786-2,060\approx -2,846 <0.
    • Conclusão: em x=\pi-\alpha a derivada segunda é negativa, logo existe um máximo local em x=\pi-\alpha.
  • Para x=-\pi-\alpha\approx -3,808, observe que -\pi-\alpha é coterminal com \pi-\alpha menos 2\pi, então trigonometria dá os mesmos valores de seno e cosseno que em \pi-\alpha: \sin(-\pi-\alpha)=\sin\alpha e \cos(-\pi-\alpha)=-\cos\alpha. Logo \operatorname{sec}(-\pi-\alpha)\approx -1,272 e f''(-\pi-\alpha)\approx -2,846 <0.
    • Conclusão: em x=-\pi-\alpha também temos um máximo local.
Portanto o teste da derivada segunda foi aplicável e nos deu:
  • mínimo local em x=\alpha;
  • máximos locais em x=\pi-\alpha e em x=-\pi-\alpha.

Passo 6

Calcular as coordenadas (valores de f) nos extremos para poder apresentar os extremos relativos completos.
Usamos f(x)=\operatorname{sec} x - x. Nos pontos críticos já calculados aproximadamente:
  • Em x=\alpha: \operatorname{sec}\alpha\approx 1,272 e \alpha\approx 0,666, logo
f(\alpha)\approx 1,272 - 0,666 \approx 0,606.
  • Em x=\pi-\alpha: \operatorname{sec}(\pi-\alpha)\approx -1,272 e \pi-\alpha\approx 2,476, logo
f(\pi-\alpha)\approx -1,272 - 2,476 \approx -3,748.
  • Em x=-\pi-\alpha: \operatorname{sec}(-\pi-\alpha)\approx -1,272 e -\pi-\alpha\approx -3,808, logo
f(-\pi-\alpha)\approx -1,272 -(-3,808)\approx 2,536.
Assim temos as coordenadas aproximadas dos extremos relativos.

Passo 7

Determinar pontos de inflexão e intervalos de concavidade usando a derivada segunda.
Lembre que pontos de inflexão são pontos do domínio onde f''(x)=0 ou é indefinida, e onde a concavidade muda de sinal ao atravessar o ponto.
Temos f''(x)=\operatorname{sec} x(\tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x). Observações:
  • \operatorname{sec} x é zero nunca (não existe x com \operatorname{sec} x=0).
  • \tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x\ge 0 e só seria zero se \tan x=0 e \operatorname{sec} x=0 simultaneamente, o que não ocorre; portanto \tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x>0 para todo x no domínio.
  • Assim f''(x)=0 não tem solução em pontos do domínio. A derivada segunda só pode mudar de sinal quando se atravessa um ponto onde ela é indefinida (i.e., uma assíntota vertical, onde \cos x=0). Mas nesses pontos a função não está definida, então não são pontos de inflexão (pois pontos de inflexão devem pertencer ao domínio da função).
Concluímos:
  • Não há pontos de inflexão no domínio considerado (nenhum x com f''(x)=0 dentro do domínio).
  • Para concavidade, basta ver o sinal de f'' em cada intervalo entre assíntotas:
    • Em (-\tfrac{3}{2}\pi,-\tfrac{1}{2}\pi): escolha x=-\pi, f''(-\pi) = \operatorname{sec}(-\pi)(\tan^2(-\pi)+\operatorname{sec}^2(-\pi)) = (-1)(0+1)= -1<0. Logo côncavo para baixo nesse intervalo.
    • Em (-\tfrac{1}{2}\pi,\tfrac{1}{2}\pi): escolha x=0, f''(0)=1\cdot(0+1)=1>0. Logo côncavo para cima nesse intervalo.
    • Em (\tfrac{1}{2}\pi,\tfrac{3}{2}\pi): escolha x=\pi, f''(\pi)=-1<0. Logo côncavo para baixo nesse intervalo.
Resumindo: concavidade para cima em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}); concavidade para baixo em (-\tfrac{3\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2}) e em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}). Não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 8

Discussão final e esboço qualitativo do gráfico (comportamento e assíntotas).
Pontos importantes para esboçar:
  • Assíntotas verticais em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. No intervalo dado aparecem em
    \;x=-\tfrac{3}{2}\pi,\;x=-\tfrac{\pi}{2},\;x=\tfrac{\pi}{2},\;x=\tfrac{3}{2}\pi\;. A função tende a \pm\infty ao se aproximar dessas linhas (sinais trocam conforme o lado, porque \operatorname{sec} x muda de sinal).
  • Três extremos locais (cada um em um arco entre assíntotas):
    • mínimo local em x=\alpha (no ramo central), com f(\alpha)\approx 0,606;
    • máximo local em x=-\pi-\alpha (ramo esquerdo), com f(-\pi-\alpha)\approx 2,536;
    • máximo local em x=\pi-\alpha (ramo direito), com f(\pi-\alpha)\approx -3,748.
  • Concavidade: o ramo central entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} é côncavo para cima; os ramos esquerdo e direito (entre -\tfrac{3\pi}{2} e -\tfrac{\pi}{2} e entre \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2}) são côncavos para baixo.
  • Não há pontos de inflexão pertencentes ao domínio.
Esboço qualitativo (descrição que você pode desenhar):
  • Trace assíntotas verticais nas x indicadas.
  • No ramo central (entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}) o gráfico vem de +\infty ao se aproximar de -\tfrac{\pi}{2} pela direita, desce, tem um mínimo em x=\alpha e sobe para +\infty ao se aproximar de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda (é côncavo para cima).
  • No ramo esquerdo (entre -\tfrac{3\pi}{2} e -\tfrac{\pi}{2}) o gráfico tende a +\infty perto de -\tfrac{3\pi}{2} por um lado, decai, tem um máximo em x=-\pi-\alpha, e vai para -\infty ao se aproximar de -\tfrac{\pi}{2} pela esquerda (côncavo para baixo).
  • No ramo direito (entre \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2}) o comportamento é análogo: vindo de +\infty na aproximação a \tfrac{\pi}{2} pela direita, atinge um máximo em x=\pi-\alpha e depois vai para -\infty ao se aproximar de \tfrac{3\pi}{2}, também côncavo para baixo.

Resposta

Extremos relativos:
Mínimo local em x=\alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2}\right)\approx 0,666, com f(\alpha)\approx 0,606.
Máximo local em x=-\pi-\alpha\approx -3,808, com f(-\pi-\alpha)\approx 2,536.
Máximo local em x=\pi-\alpha\approx 2,476, com f(\pi-\alpha)\approx -3,748.
Pontos de inflexão:
Não há pontos de inflexão no domínio (nenhum x com f''(x)=0 dentro do domínio).
Concavidade:
Côncavo para cima em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
Côncavo para baixo em \left(-\tfrac{3\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2}\right) e em \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right).
Esboço (qualitativo):
Assíntotas verticais em x=-\tfrac{3\pi}{2},\,-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}. Ramo central (entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}) côncavo para cima com mínimo em x=\alpha. Ramos lateral esquerdo e direito côncavos para baixo com máximos em x=-\pi-\alpha e x=\pi-\alpha, respectivamente.

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