A função considerada é \displaystyle (x,y)\mapsto \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0).
O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
A pergunta é somente o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0).
Passo 2
Como decidir um método: para limites de funções de duas variáveis, um caminho comum é usar coordenadas polares porque elas transformam a distância ao origem numa única variável r (o que facilita ver o comportamento quando (x,y)\to(0,0)). Outra maneira é testar vários caminhos (por exemplo y=kx) — isso pode mostrar que o limite não existe se diferentes caminhos derem resultados diferentes. Aqui é natural tentar coordenadas polares porque a expressão tem x^{2}+y^{2} no denominador, que fica simples em polares.
que claramente tende a 0 quando x\to0. Isso é consistente com a conclusão geral.
(ii) Motivação curta: a chave foi ver que a fração é proporcional a r em coordenadas polares, e como r mede a distância ao ponto (0,0), qualquer fator angular fica limitado e o produto vai a zero.