[3] (2,0 pontos)Calcule o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função considerada é \displaystyle (x,y)\mapsto \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • A pergunta é somente o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Como decidir um método: para limites de funções de duas variáveis, um caminho comum é usar coordenadas polares porque elas transformam a distância ao origem numa única variável r (o que facilita ver o comportamento quando (x,y)\to(0,0)). Outra maneira é testar vários caminhos (por exemplo y=kx) — isso pode mostrar que o limite não existe se diferentes caminhos derem resultados diferentes. Aqui é natural tentar coordenadas polares porque a expressão tem x^{2}+y^{2} no denominador, que fica simples em polares.
Explicando coordenadas polares (passo-a-passo): usar
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 e \theta é o ângulo. Importante: (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^{+} (o ângulo \theta pode variar arbitrariamente).

Passo 3

Substituir x e y em termos de r e \theta.
Calcular o numerador:
3x^{2}y = 3(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta) = 3r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta.
Calcular o denominador:
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Portanto a fração fica
\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{3r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta}{r^{2}} = 3r\cos^{2}\theta\sin\theta.

Passo 4

Estimar o valor absoluto para aplicar o teorema do confronto (squeeze). Primeiro observe que para todo \theta
|\cos\theta|\le1,\qquad |\sin\theta|\le1 \quad\Rightarrow\quad |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le1.
Logo
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| = |3r\cos^{2}\theta\sin\theta| = 3r\,|\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 3r.

Passo 5

Aplicar o teorema do confronto. Sabendo que 0\le 3r\,|\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 3r e que 3r\to0 quando r\to0^{+}, conclui-se que
3r\cos^{2}\theta\sin\theta \to 0 \quad\text{quando}\quad r\to0^{+}.
Como r\to0^{+} é equivalente a (x,y)\to(0,0), isso prova que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 6

(i) Comentário extra para fixar a intuição: testar um caminho linear y=kx
\frac{3x^{2}(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{3k x^{3}}{x^{2}(1+k^{2})}=\frac{3k}{1+k^{2}}x,
que claramente tende a 0 quando x\to0. Isso é consistente com a conclusão geral.
(ii) Motivação curta: a chave foi ver que a fração é proporcional a r em coordenadas polares, e como r mede a distância ao ponto (0,0), qualquer fator angular fica limitado e o produto vai a zero.

Resposta

0

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