[3,0 pontos] (1) Considere a função
, o ponto
e o vetor
.
(b) A partir do ponto
, qual é a direção de maior crescimento? Qual é essa taxa?
(b) A partir do ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 2x^{3} + 2y^{3} - 3x^{2} + 3y^{2} - 36x - 36y + 1 $, um ponto específico $ P = (1, -1) $ e um vetor $ \vec{v} = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right) $.
O que a gente precisa descobrir é a direção de maior crescimento da função a partir do ponto $ P $ e qual é essa taxa de crescimento. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que envolve derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
Simplificando, já que $ y $ é tratado como constante:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, -1) $.
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ x = 1 $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ y = -1 $:
Portanto, o gradiente da função no ponto $ P $ é:
Passo 4
O gradiente $ \nabla f $ é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. A direção de maior crescimento a partir do ponto $ P $ é, portanto, na direção do vetor gradiente.
Para encontrar a taxa de crescimento, calculamos a magnitude do gradiente:
Resposta
A direção de maior crescimento a partir do ponto $ P = (1, -1) $ é na direção do vetor gradiente $ \nabla f(1, -1) = (-36, -36) $. A taxa de crescimento nessa direção é $ 36\sqrt{2} $.