[3,0 pontos] (1) Considere a função f(x, y)=2 x^3+2 y^3-3 x^2+3 y^2-36 x-36 y+1, o ponto P=(1,-1) e o vetor v=(-13, 14).
© Encontre os pontos críticos de f e classifique-os.

Passo 1

Neste exercício a missão é encontrar todos os pontos críticos da função f(x,y)=2x^3+2y^3-3x^2+3y^2-36x-36y+1 e indicar se cada um é mínimo, máximo ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar os candidatos e depois a matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e resolvemos o sistema nabla f=0:
partial fpartial x=6x^2-6x-36=0
6y^2+6y-36=0
Dividindo por 6 em cada uma, temos
x^2-x-6=0
y^2+y-6=0
Resolvendo ambas as equações quadráticas:
x=1pmraiz1+242=3 ou -2
y=-1pmraiz1+242=2 ou -3
Logo os pontos críticos são todas as combinações: (3,2), (3,-3), (-2,2) e (-2,-3).

Passo 3

Agora vamos obter a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas de f:
fxx(x,y)=12x-6,
fyy(x,y)=12y+6,
fxy(x,y)=0
Como fxy=0, a Hessiana é diagonal e o determinante vale D=fxx,fyy.

Passo 4

Finalmente, avaliamos fxx, fyy e D em cada ponto e classificamos:
  • Em (3,2): fxx=12cdot3-6=30>0, fyy=12cdot2+6=30>0, logo D=900>0 e é mínimo local.
  • Em (3,-3): fxx=30>0, fyy=12(-3)+6=-30<0, logo D=-900<0 e é ponto de sela.
  • Em (-2,2): fxx=12(-2)-6=-30<0, fyy=30>0, logo D=-900<0 e é ponto de sela.
  • Em (-2,-3): fxx=-30<0, fyy=-30<0, logo D=900>0 e é máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são:
(3,2) – mínimo local;
(3,-3) – ponto de sela;
(-2,2) – ponto de sela;
(-2,-3) – máximo local.

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