[3,0 pontos] (1) Considere a função
, o ponto
e o vetor
.
© Encontre os pontos críticos de
e classifique-os.
© Encontre os pontos críticos de
Passo 1
Neste exercício a missão é encontrar todos os pontos críticos da função
e indicar se cada um é mínimo, máximo ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar os candidatos e depois a matriz Hessiana para classificar.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e resolvemos o sistema
:
Dividindo por 6 em cada uma, temos
Resolvendo ambas as equações quadráticas:
Logo os pontos críticos são todas as combinações:
,
,
e
.
Passo 3
Agora vamos obter a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas de
:
Como
, a Hessiana é diagonal e o determinante vale
.
Passo 4
Finalmente, avaliamos
,
e
em cada ponto e classificamos:
- Em
: , , logo e é mínimo local. - Em
: , , logo e é ponto de sela. - Em
: , , logo e é ponto de sela. - Em
: , , logo e é máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são:
(3,2) – mínimo local;
(3,-3) – ponto de sela;
(-2,2) – ponto de sela;
(-2,-3) – máximo local.
(3,2) – mínimo local;
(3,-3) – ponto de sela;
(-2,2) – ponto de sela;
(-2,-3) – máximo local.