Se suministran bacterias como alimento a una población de protozoarios a una razón constante mu. Se ha observado que las bacterias son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en función de c(0); ¿cuál es la concentración de equilibrio de las bacterias, es decir, cuando c^prime(t)=0?
(Rta.: raizmu+raizk c(t)raizmu-raizk c(t)=raizmu+raizk c(0)raizmu-raizk c(0) e^2 raizk mu t ; concentración de equilibrio c=raizmuk )

Passo 1

El problema estudia cómo varía la cantidad de bacterias cuando entran a razón constante mu y se consumen a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Vamos a modelar esto con una ecuación diferencial separable: c'(t)=mu - k,c(t)^2, donde k>0 es la constante de proporcionalidad.

Passo 2

Comenzamos escribiendo la ecuación diferencial que combina la llegada y el consumo:
La velocidad de cambio de c(t) es la tasa de entrada menos la tasa de consumo:
c'(t)=mu - k,c(t)^2

Passo 3

Ahora separamos variables para integrar:
dcmu - k,c^2 = dt
Para integrar el lado izquierdo usamos la primitiva de 1/(a^2 - u^2), que conduce a la función arctanh(u/a). En nuestro caso a=raizmu/k y u=c.

Passo 4

Integrando ambos lados obtenemos:
integral dcmu - k,c^2 = integral dt Longrightarrow 1raizkmu,arctanh!l(raizk,craizmur) = t + C
Aplicando la condición inicial c(0) hallamos C, y pasamos de la arctanh a una expresión exponencial:
arctanh!l(raizk,c(t)raizmur) = arctanh!l(raizk,c(0)raizmur)+raizkmu,t
De aquí se deduce la forma equivalente:

$$
\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(t)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(t)}

\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(0)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(0)},e^{2\sqrt{k\mu},t}.
$$

Passo 5

Para la concentración de equilibrio c^* imponemos c'(t)=0 en la ecuación original:
0=mu - k,c^*^2 Longrightarrow c^*^2=muk Longrightarrow c^*=raizmuk,
que es la cantidad de bacterias para la cual la entrada y el consumo se igualan.

Resposta

La solución implícita es

$$
\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(t)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(t)}

\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(0)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(0)},e^{2\sqrt{k\mu},t},
$$
y la concentración de equilibrio es
raizmu+raizk,c(t)raizmu-raizk,c(t) = raizmu+raizk,c(0)raizmu-raizk,c(0),e^2raizkmu,t,

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