Se suministran bacterias como alimento a una población de protozoarios a una razón constante
. Se ha observado que las bacterias son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si
es la cantidad de bacterias en el instante
, hallar la E.D.; determinar
en función de
; ¿cuál es la concentración de equilibrio de las bacterias, es decir, cuando
?
(Rta.:
concentración de equilibrio
)
(Rta.:
Passo 1
El problema estudia cómo varía la cantidad de bacterias cuando entran a razón constante
y se consumen a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Vamos a modelar esto con una ecuación diferencial separable:
, donde
es la constante de proporcionalidad.
Passo 2
Comenzamos escribiendo la ecuación diferencial que combina la llegada y el consumo:
La velocidad de cambio de
es la tasa de entrada menos la tasa de consumo:
Passo 3
Ahora separamos variables para integrar:
Para integrar el lado izquierdo usamos la primitiva de
, que conduce a la función
. En nuestro caso
y
.
Passo 4
Integrando ambos lados obtenemos:
Aplicando la condición inicial
hallamos
, y pasamos de la
a una expresión exponencial:
De aquí se deduce la forma equivalente:
$$
\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(t)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(t)}
\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(0)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(0)},e^{2\sqrt{k\mu},t}.
$$
Passo 5
Para la concentración de equilibrio
imponemos
en la ecuación original:
que es la cantidad de bacterias para la cual la entrada y el consumo se igualan.
Resposta
La solución implícita es
$$
\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(t)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(t)}
\frac{\sqrt{\mu}+\sqrt{k},c(0)}{\sqrt{\mu}-\sqrt{k},c(0)},e^{2\sqrt{k\mu},t},
$$
y la concentración de equilibrio es