Hallar la solución general de la E.D. y luego hallar en cada caso una solución particular que pase por:
a) , b) , c)
(Rta. a) , b) , c) )
Passo 1
Vamos a resolver la ecuación diferencial , que podemos reescribir como . Es una ED de variables separables, así que planeamos separar y , integrar con fracciones parciales y además tener en cuenta posibles soluciones constantes.
Passo 2
Buscamos soluciones constantes imponiendo . Así, da o . Estas son soluciones particulares de la ecuación.
Passo 3
Para la solución no constante separamos variables:
=\frac{1}{6}\ln\Bigl|\frac{y-3}{y+3}\Bigr|+C_1\int dx = x + C_2.$$
Passo 6
Igualando y combinando constantes obtenemos
de donde surge la solución implícita y-3y+3=Ce^6x, válida para yneqpm3, más las soluciones constantes y=3 y y=-3.
Passo 7
Ahora hallamos las soluciones particulares:
Para el punto (0,0) sustituimos en (y-3)/(y+3)=Ce^6x:
0-30+3=-1= C e^0 implies C=-1, de modo que
y-3y+3=-e^6x
Passo 8
Para el punto (0,3) obtenemos (3-3)/(3+3)=0, lo que equivale a C=0 y da la solución constante
$$
y=3.$$
Passo 9
Para el punto (1/3,1) tenemos
1-31+3=-tfrac12=C e^6,(1/3)=C e^2
así que
$$
C=-\tfrac{1}{2}e^{-2},
$$ y la particular es
C=-tfrac12e^-2,
Resposta
Solución general (no constante): y-3y+3=Ce^6x (además de las constantes y=3 y y=-3). a) Para (0,0): y-3y+3=-e^6x. b) Para (0,3): y=3. c) Para (tfrac13,1): y-3y+3=-tfrac12e^-2e^6x.