Hallar la solución general de la E.D. d yd x-y^2=-9 y luego hallar en cada caso una solución particular que pase por:
a) (0,0), b) (0,3), c) (13, 1)
(Rta. a) y-3y+3=-e^6 x, b) y=3, c) y-3y+3=-12 e^-2 e^6 x )

Passo 1

Vamos a resolver la ecuación diferencial dydx-y^2=-9, que podemos reescribir como dydx=y^2-9. Es una ED de variables separables, así que planeamos separar y y x, integrar con fracciones parciales y además tener en cuenta posibles soluciones constantes.

Passo 2

Buscamos soluciones constantes imponiendo dydx=0. Así, y^2-9=0 da y=3 o y=-3. Estas son soluciones particulares de la ecuación.

Passo 3

Para la solución no constante separamos variables:
dyy^2-9=dx

Passo 4

Descomponemos en fracciones parciales:
1y^2-9=16l(1y-3-1y+3r)

Passo 5

Integramos ambos lados:
$$\int\frac{dy}{y^2-9}=\frac{1}{6}\int\Bigl(\frac{1}{y-3}-\frac{1}{y+3}\Bigr)dy
=\frac{1}{6}\ln\Bigl|\frac{y-3}{y+3}\Bigr|+C_1 integraldyy^2-9=16integrall(1y-3-1y+3r)dy =16lnl|y-3y+3r|+C1\int dx = x + C_2.$$

Passo 6

Igualando y combinando constantes obtenemos
lnl|y-3y+3r|=6x+C,
de donde surge la solución implícita
y-3y+3=Ce^6x, válida para yneqpm3, más las soluciones constantes y=3 y y=-3.

Passo 7

Ahora hallamos las soluciones particulares:
Para el punto (0,0) sustituimos en (y-3)/(y+3)=Ce^6x:
0-30+3=-1= C e^0 implies C=-1, de modo que
y-3y+3=-e^6x

Passo 8

Para el punto (0,3) obtenemos (3-3)/(3+3)=0, lo que equivale a C=0 y da la solución constante
$$
y=3.$$

Passo 9

Para el punto (1/3,1) tenemos
1-31+3=-tfrac12=C e^6,(1/3)=C e^2
así que
$$
C=-\tfrac{1}{2}e^{-2},
$$ y la particular es
C=-tfrac12e^-2,

Resposta

Solución general (no constante): y-3y+3=Ce^6x (además de las constantes y=3 y y=-3). a) Para (0,0): y-3y+3=-e^6x. b) Para (0,3): y=3. c) Para (tfrac13,1): y-3y+3=-tfrac12e^-2e^6x.

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