[3 pontos]
Partindo de
e
, com
, busque obter um zero para
usando o método Secante. Qual foi o
encontrado?
Passo 1
O enunciado dá os valores iniciais e a tolerância:
O pedido é: “busque obter um zero para
usando o método Secante. Qual foi o
encontrado?”
Observação crucial: o enunciado não fornece a expressão de nem os valores de
em
e
. Sem essa informação não é possível executar numericamente as iterações do método Secante e, portanto, não é possível calcular um valor numérico para
.
Observação crucial: o enunciado não fornece a expressão de
Passo 2
O que é o método Secante (explicação didática, passo a passo):
- A ideia do método Secante é aproximar a derivada de
por uma razão de diferenças usando dois pontos consecutivos, em vez de usar a derivada exata como no método de Newton. - Dados dois pontos
e , a reta secante que passa por esses pontos tem equação cuja interseção com o eixo dá a próxima aproximação . - A fórmula iterativa do método Secante é:
- Explicando cada símbolo:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os valores da função nesses pontos (é obrigatório conhecê-los para aplicar a fórmula). -
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo .
-
Passo 3
Critérios de parada (como usar
):
- Existem várias maneiras razoáveis de parar a iteração. As duas mais comuns são:
- Critério do resíduo: parar quando
. Esse critério garante que a função está suficientemente próxima de zero. - Critério da diferença entre iterações: parar quando
. Esse garante que a aproximação não muda mais que a tolerância.
- Critério do resíduo: parar quando
- Observação prática: se o enunciado só disse “
” sem especificar, o mais habitual em problemas de raízes é usar . Se for necessário usar diferença de abscissas, então é . - Nota sobre segurança: sempre verificar também que
(se for zero, a fórmula divide por zero e a iteração falha).
Passo 4
Procedimento prático para executar as iterações manualmente (o que fazer em cada iteração):
- Calcule
e . - Use a fórmula do Secante para obter
:
- Calcule
. - Verifique o critério de parada escolhido (por exemplo, se
pare; caso contrário continue). - Para obter
, aplique a mesma fórmula usando e (ou seja, role as iterações): . - Repita até atender o critério de parada ou até detectar problemas (divisão por zero, divergência, iterações demasiadas).
- Anotações úteis: calcular e anotar em cada passo
, e ajuda a controlar o processo.
Passo 5
Exemplo numérico ilustrativo (para aprendermos a fazer as contas): escolher uma função simples onde dá para mostrar as contas à mão. Vou usar
(exemplo didático, não é a sua função — serve só para ver o método funcionando).
- Primeiro calcule os valores iniciais:
-
. -
.
-
- Use a fórmula do Secante para
:
- Calcule os termos:
-
. -
. - Assim
.
-
- Verificação do critério (usando
): -
. -
, então paramos e a raiz encontrada é .
-
- Comentário sobre o exemplo: como
é linear, a secante encontra a raiz exata imediatamente. Em geral, para funções não lineares, serão necessárias várias iterações e os valores de nos pontos intermediários.
Passo 6
Aplicação à sua questão real — por que não dá para terminar o cálculo aqui:
- Para aplicar as contas numéricas com os
e que você deu é imprescindível conhecer (a expressão da função) ou, no mínimo, os valores numéricos de e . - Sem
não há como calcular e , logo não há como calcular nem as iterações seguintes; portanto não há como determinar numericamente .
Passo 7
O que eu faria na prova (resumo prático, passo a passo, motivador):
- Escreva claramente
, e . - Calcule
e . - Aplique a fórmula do Secante para obter
e calcule . - Verifique se
(ou , se o enunciado pedir). Se não, prossiga com usando e . - Repita até o critério ser satisfeito. Anote sempre cada passo, os valores e o critério verificado — isso rende pontos na correção e evita erros.
- Dica de colega: se em qualquer iteração
, pare e troque as aproximações iniciais ou use outro método (pode ocorrer divisão por quase zero).
Passo 8
Conclusão e pedido final (o que falta de fato para eu calcular
para você agora):
- Falta a definição da função
(ou os valores numéricos e ). Se você me enviar (por exemplo uma expressão como ou os valores e ), eu executo as iterações do método Secante com , mostrando todas as contas passo a passo até obter .
Resposta
Não é possível determinar
porque a função
não foi fornecida no enunciado.