Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é dada para
não nulo (pois aparece divisão por depois). - A condição inicial é em
, então vamos trabalhar no intervalo onde e as operações fazem sentido (ou seja, ).
O que o enunciado pede: encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por
(válido para
; estamos interessados em
):
Aqui escrevi a equação no formato
com
e
. Isso deixa claro o que vou usar a seguir.
Passo 3
Explicação do método que vou usar (integradora): para uma equação da forma
a ideia é multiplicar por um fator integrante
tal que a parte esquerda vire a derivada do produto
. Esse fator integrante é
Razão: se
então
, que é exatamente o que se obtém multiplicando a equação por
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
onde usei que
para poder simplificar
. Agora multiplico a equação padrão por
:
que é a forma original, e a esquerda é a derivada do produto:
Passo 5
Usar a observação anterior para integrar diretamente:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora preciso calcular a integral
.
Passo 6
Calcular
por partes. Escolho
Então
Aplicando integração por partes
:
Calcular a última integral:
Portanto
Passo 7
Substituir o resultado da integral em
. Para não confundir constantes, mantenho apenas uma constante
:
Dividindo por
(novamente
):
Essa é a solução geral (em
) com constante
a determinar pela condição inicial.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
. Substituo
em
:
Como
, isso dá
Passo 9
Substituir
na expressão geral para obter a solução particular:
Breve verificação (opcional, mas útil): ao derivar essa
e calcular
obtém-se
, portanto a solução satisfaz a equação original e a condição inicial.