Resolva o problema de valor inicial.
x y^{\prime}+y=x \ln x, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x\,y'(x)+y(x)=x\ln x,\qquad y(1)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é dada para x não nulo (pois aparece divisão por x depois).
  • A condição inicial é em x=1, então vamos trabalhar no intervalo onde \ln x e as operações fazem sentido (ou seja, x>0).
    O que o enunciado pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por x (válido para x\neq0; estamos interessados em x>0):
y'(x)+\frac{1}{x}y(x)=\ln x.
Aqui escrevi a equação no formato y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=\ln x. Isso deixa claro o que vou usar a seguir.

Passo 3

Explicação do método que vou usar (integradora): para uma equação da forma
y'+P(x)y=Q(x),
a ideia é multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que a parte esquerda vire a derivada do produto \mu(x)y(x). Esse fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Razão: se \mu'=\mu P então (\mu y)'=\mu y'+\mu P y, que é exatamente o que se obtém multiplicando a equação por \mu.

Passo 4

Calcular o fator integrante para P(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln x)=x,
onde usei que x>0 para poder simplificar \exp(\ln x)=x. Agora multiplico a equação padrão por \mu(x)=x:
x\bigl(y'(x)+\tfrac{1}{x}y(x)\bigr)=x\ln x \quad\Rightarrow\quad x y'(x)+y(x)=x\ln x,
que é a forma original, e a esquerda é a derivada do produto:
(xy)'=x y'+y.

Passo 5

Usar a observação anterior para integrar diretamente:
(xy)'=x\ln x.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x y(x)=\int x\ln x\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora preciso calcular a integral \int x\ln x\,dx.

Passo 6

Calcular \int x\ln x\,dx por partes. Escolho
u=\ln x,\qquad dv=x\,dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx.
Calcular a última integral:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{4}.
Portanto
\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.

Passo 7

Substituir o resultado da integral em x y(x)=\int x\ln x\,dx + C. Para não confundir constantes, mantenho apenas uma constante C:
x y(x)=\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.
Dividindo por x (novamente x\neq0):
y(x)=\frac{x}{2}\ln x - \frac{x}{4} + \frac{C}{x}.
Essa é a solução geral (em x>0) com constante C a determinar pela condição inicial.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(1)=0. Substituo x=1 em y(x):
0 = y(1)=\frac{1}{2}\ln 1 - \frac{1}{4} + \frac{C}{1}.
Como \ln 1=0, isso dá
0 = 0 - \frac{1}{4} + C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{4}.

Passo 9

Substituir C=\dfrac{1}{4} na expressão geral para obter a solução particular:
y(x)=\frac{x}{2}\ln x - \frac{x}{4} + \frac{1}{4x},\qquad x>0.
Breve verificação (opcional, mas útil): ao derivar essa y(x) e calcular x y'(x)+y(x) obtém-se x\ln x, portanto a solução satisfaz a equação original e a condição inicial.

Resposta

y(x)=\dfrac{x}{2}\ln x-\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4x}

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