Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação:
, para . - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes listadas:
- A variável independente é
(com ). - A função incógnita é
. - Há uma condição no ponto
: . - Podemos dividir ambos os lados da equação por
porque .
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais conveniente para resolver (dividindo por
):
Rearranjando para a forma linear padrão
:
Explicando bem: aqui foi isolado o termo com
e colocado o termo proporcional a
ao lado esquerdo. Isso facilita usar uma técnica chamada fator integrante (explico no próximo passo). É legítimo dividir por
porque o enunciado já diz
.
Passo 3
Apresentar a ideia do fator integrante e calcular:
- Se tivermos uma equação na forma
, define-se o fator integrante
- No nosso caso, comparando com
, obtemos
- Calcular o fator integrante:
Como
,
. Logo
Comentário didático: o fator integrante transforma o lado esquerdo da equação num derivada total do produto
, o que facilita integrar.
Passo 4
Multiplicar a equação por
e usar a regra do produto:
Multiplicando
Multiplicando
ou seja
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
, porque
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito usa a regra
para
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
e aplicar a condição inicial:
Multiplicando ambos os lados por ,
Multiplicando ambos os lados por
Agora usar
:
Resolve-se para
:
Substituindo em
,
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
e substituir na equação original.
Multiplicando por
:
Calcular o lado direito
com
:
que coincide com
. Portanto a solução satisfaz a equação e a condição inicial.