Resolva o problema de valor inicial.
t \frac{d u}{d t}=t^{2}+3 u, t>0, \quad u(2)=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação: t \dfrac{du}{dt} = t^{2} + 3u, para t>0.
  • Condição inicial: u(2)=4.
O que é pedido: encontrar a função u(t) definida para t>0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes listadas:
  • A variável independente é t (com t>0).
  • A função incógnita é u(t).
  • Há uma condição no ponto t=2: u(2)=4.
  • Podemos dividir ambos os lados da equação por t porque t>0.

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais conveniente para resolver (dividindo por t):
t \frac{du}{dt} = t^{2} + 3u \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dt} = t + \frac{3}{t}\,u.
Rearranjando para a forma linear padrão \dfrac{du}{dt} + P(t)\,u = Q(t):
\frac{du}{dt} - \frac{3}{t}\,u = t.
Explicando bem: aqui foi isolado o termo com \dfrac{du}{dt} e colocado o termo proporcional a u ao lado esquerdo. Isso facilita usar uma técnica chamada fator integrante (explico no próximo passo). É legítimo dividir por t porque o enunciado já diz t>0.

Passo 3

Apresentar a ideia do fator integrante e calcular:
  • Se tivermos uma equação na forma \dfrac{du}{dt} + P(t)\,u = Q(t), define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
  • No nosso caso, comparando com \dfrac{du}{dt} - \dfrac{3}{t}u = t, obtemos
P(t) = -\frac{3}{t},\qquad Q(t)=t.
  • Calcular o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{3}{t}\,dt\right)=\exp\big(-3\ln t\big).
Como t>0, \exp(-3\ln t)=t^{-3}. Logo
\mu(t)=t^{-3}.
Comentário didático: o fator integrante transforma o lado esquerdo da equação num derivada total do produto \mu(t)u(t), o que facilita integrar.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(t)=t^{-3} e usar a regra do produto:
Multiplicando
t^{-3}\left(\frac{du}{dt} - \frac{3}{t}u\right) = t^{-3}\cdot t,
ou seja
t^{-3}\frac{du}{dt} - 3t^{-4}u = t^{-2}.
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto t^{-3}u, porque
\frac{d}{dt}\big(t^{-3}u\big) = t^{-3}\frac{du}{dt} + \big(t^{-3}\big)'\,u = t^{-3}\frac{du}{dt} -3t^{-4}u.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(t^{-3}u\big) = t^{-2}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{-3}u\big)\,dt = \int t^{-2}\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente t^{-3}u. A integral do lado direito usa a regra \int t^{n}\,dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1:
t^{-3}u = \int t^{-2}\,dt = -t^{-1} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar u(t) e aplicar a condição inicial:
Multiplicando ambos os lados por t^{3},
u(t) = -t^{2} + C\,t^{3}.
Agora usar u(2)=4:
4 = -2^{2} + C\cdot 2^{3} = -4 + 8C.
Resolve-se para C:
8C = 8 \quad\Rightarrow\quad C=1.
Substituindo em u(t),
u(t) = -t^{2} + 1\cdot t^{3} = t^{3}-t^{2}.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular \dfrac{du}{dt} e substituir na equação original.
\frac{du}{dt} = 3t^{2}-2t.
Multiplicando por t:
t\frac{du}{dt} = t(3t^{2}-2t)=3t^{3}-2t^{2}.
Calcular o lado direito t^{2}+3u com u=t^{3}-t^{2}:
t^{2}+3u = t^{2}+3(t^{3}-t^{2}) = t^{2}+3t^{3}-3t^{2}=3t^{3}-2t^{2},
que coincide com t\frac{du}{dt}. Portanto a solução satisfaz a equação e a condição inicial.

Resposta

u(t)=t^{3}-t^{2}

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